Toán 9 Bất đẳng thức

[7 1 2 5]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa mãn [tex]a+b+c=1007[/tex]
Chứng minh [tex]\sqrt{2014a+\frac{(b-c)^2}{2}}+\sqrt{2014b+\frac{(c-a)^2}{2}}+\sqrt{2014c+\frac{(a-b)^2}{2}}\leq 2014\sqrt{2}[/tex]

 

[7 1 2 5]

Tuyệt vọng lắm mới đăng lên đây nhưng tự nhiên nghĩ ra..... Bạn nào có cách khác cứ tiếp tục viết vào đây nhé....
Ta có: [tex]a,b,c\geq 0\Rightarrow ab\geq 0[/tex]
BĐT cần chứng minh [tex]\Leftrightarrow \sqrt{4028a+(b-c)^2}+\sqrt{4028b+(c-a)^2}+\sqrt{4028c+(a-b)^2}\leq 4028[/tex]
Ta thấy: [tex]4028a+(b-c)^2=4.1007a+(b+c)^2-4bc=4a(a+b+c)+(b+c)^2-4bc=4a^2+4a(b+c)+(b+c)^2-4bc=(2a+b+c)^2-4bc\leq (2a+b+c)^2\Rightarrow \sqrt{4028a+(b-c)^2}\leq \sqrt{(2a+b+c)^2}=2a+b+c[/tex]
Chứng minh tương tự, cộng vế theo vế ta có:
[tex]\sqrt{4028a+(b-c)^2}+\sqrt{4028b+(c-a)^2}+\sqrt{4028c+(a-b)^2}\leq 2a+b+c+2b+c+a+2c+a+b=4(a+b+c)=4028(đpcm)[/tex]