Toán 8 Bất đẳng thức

[Dương_C_K_F_H_J]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$$

 

[7 1 2 5]

Đặt $$\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z\Rightarrow xyz=1$$
Lại có: $$\frac{1}{a^3(b+c)}=\frac{abc}{a^3(b+c)}=\frac{1}{a^2.\frac{b+c}{bc}}=\frac{1}{a^2.(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{x^2}{y+z}$$
BĐT cần chứng minh trở thành: $$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\geq \frac{3}{2}$$
Ta thấy: $$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=x\Rightarrow \frac{x^2}{y+z}\geq \frac{4x-y-z}{4}$$
Chứng minh tương tự ta được $$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\geq \frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$$

 

[Dương_C_K_F_H_J]

sao xyz=1 aj. em chx hieu DDDDDDDDDDDDDDDD

 

[7 1 2 5]

$$xyz=\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}=1$$

sao xyz=1 aj. em chx hieu DDDDDDDDDDDDDDDD

 

[Dương_C_K_F_H_J]

Đoạn cuối em chưa hiểu? dấu lớn hơn hoặc bằng cuối cùng đấy ạ, Giúp em với

 

[7 1 2 5]

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số ta có: $$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$$
Mà xyz = 1 nên $$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{1}=3$$