Đặt [tex]\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z\Rightarrow xyz=1[/tex]
Lại có: [tex]\frac{1}{a^3(b+c)}=\frac{abc}{a^3(b+c)}=\frac{1}{a^2.\frac{b+c}{bc}}=\frac{1}{a^2.(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{x^2}{y+z}[/tex]
BĐT cần chứng minh trở thành: [tex]\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\geq \frac{3}{2}[/tex]
Ta thấy: [tex]\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=x\Rightarrow \frac{x^2}{y+z}\geq \frac{4x-y-z}{4}[/tex]
Chứng minh tương tự ta được [tex]\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\geq \frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}[/tex]