Toán 10 Bất đẳng thức

[Thái Vĩnh Đạt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z là nghiệm của hệ [tex]\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\\ xy+yz+zx=1 \end{matrix}\right.[/tex]. CMR [tex]x,y,z\space\ \epsilon\left [ \frac{-4}{3};\frac{4}{3} \right ][/tex]

 

[Lê.T.Hà]

- Nếu 1 trong 3 số =0, dễ dàng tìm ra 3 số khi đó sẽ là hoán vị của bộ [tex](0;1;1)[/tex] hoặc [tex](-1;-1;0)[/tex]
- Nếu không có số nào bằng 0 [tex]\Rightarrow x^2+y^2+z^2=2xy+2yz+2zx\Rightarrow (x-y-z)^2=4yz\Rightarrow yz>0[/tex]
Hoàn toàn tương tự ta có [tex]xy>0;\: zx>0\Rightarrow x;y;z[/tex] cùng dấu
Ta có [tex](x+y+z)^2=4\Rightarrow |x+y+z|=|x|+|y|+|z|=2[/tex] và [tex]|xy|+|yz|+|zx|=1[/tex]
Đặt [tex](|x|;|y|;|z|)=(a;b;c)[/tex]; không mất tính tổng quát, giả sử [tex]a=max\left \{ a;b;c \right \}[/tex]
[tex]ab+bc+ca=1\Leftrightarrow a(b+c)+bc=1\Leftrightarrow a(2-a)+\frac{b^2+c^2}{2}\geq 1\Leftrightarrow 2a-a^2+\frac{2-a^2}{2}\geq 1\Leftrightarrow 4a-3a^2\geq 0\Rightarrow a\leq \frac{4}{3}[/tex]