Toán 10 Bất đẳng thức

[amsterdamIMO]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh: [tex]\frac{1}{a + b + 1} + \frac{1}{b + c + 1} + \frac{1}{c + a + 1} \leq 1[/tex] với [tex]a, b, c > 0[/tex] và [tex]abc = 1[/tex]

 

[Nguyễn Quế Sơn]

Chứng minh: [tex]\frac{1}{a + b + 1} + \frac{1}{b + c + 1} + \frac{1}{c + a + 1} \leq 1[/tex] với [tex]a, b, c > 0[/tex] và [tex]abc = 1[/tex]

Đặt [tex]a=x^{3};b=y^{3};c=z^{3}\Rightarrow xyz=1[/tex]
[tex]\frac{1}{x^{3}+y^{3}+xyz}\geq \frac{1}{xy(x+y)+xyz}=\frac{z}{xyz(x+y+z)}[/tex]
CMTT ta có đpcm

 

[Ngoc Anhs]

Chứng minh: [tex]\frac{1}{a + b + 1} + \frac{1}{b + c + 1} + \frac{1}{c + a + 1} \leq 1[/tex] với [tex]a, b, c > 0[/tex] và [tex]abc = 1[/tex]

Cách khác:
[tex]bdt\Leftrightarrow (a+b+1)(b+c+1)+(b+c+1)(a+c+1)+(a+b+1)(a+c+1)\leq (a+b+1)(b+c+1)(a+c+1) \\ \Leftrightarrow (a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)+4(a+b+c)+3\leq (a+b)(b+c)(c+a)+(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)+2(a+b+c)+1 \\ \Leftrightarrow 2+2(a+b+c)\leq (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc \\ \Leftrightarrow 3\leq (a+b+c)(ab+bc+ca-2)[/tex]
Áp dụng AM-GM:
[tex](a+b+c)(ab+bc+ca-2)\geq 3\sqrt[3]{abc}.\left [ 3\sqrt[3]{ab.bc.ca}-2 \right ]=3[/tex]
=> đpcm
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$