Toán 10 Bất đẳng thức

[amsterdamIMO]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) $$a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2\left ( ab + bc - ca \right )$$
2) $$a^{4} + b^{4} + c^{2} + 1 \geq 2a\left ( ab^{2} - a + c + 1 \right )$$
3) $$\frac{a^{2}}{4} + b^{2} + c^{2} \geq ab - ac + 2bc$$
4) $$a^{2}\left ( 1 + b^{2} \right ) + b^{2}\left ( 1 + c^{2} \right ) + c^{2}\left ( 1 + a^{2} \right ) \geq 6abc$$

 

[7 1 2 5]

Gợi ý: Câu 1,2,3 chuyển vế đưa về hằng đẳng thức.
Câu 4 sử dụng BĐT Cauchy cho biểu thức trong ngoặc rồi sử dụng 1 lần nữa cho cả 3 số.

 

[amsterdamIMO]

Gợi ý: Câu 1,2,3 chuyển vế đưa về hằng đẳng thức.
Câu 4 sử dụng BĐT Cauchy cho biểu thức trong ngoặc rồi sử dụng 1 lần nữa cho cả 3 số.

Có thể giúp em cách làm câu 1 được không ạ, vì em biến đổi k ra

 

[7 1 2 5]

$$a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2\left ( ab + bc - ca \right )\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ca\geq 0\Leftrightarrow (a-b+c)^2\geq 0$$
Bạn thử phân tích $$(a-b+c)^2$$ xem có đúng không

 

[amsterdamIMO]

$$a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2\left ( ab + bc - ca \right )\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ca\geq 0\Leftrightarrow (a-b+c)^2\geq 0$$
Bạn thử phân tích $$(a-b+c)^2$$ xem có đúng không

Dấu = sẽ xảy ra khi nào ạ ?

 

[7 1 2 5]

Dấu = sẽ xảy ra khi nào ạ ?

Dấu "=" xảy ra khi $$a-b+c=0$$ là đủ nhé.