Toán 8 bất đẳng thức

[Hồng Uyên 2k6]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[tex](a+b+c)^{3}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc[/tex]
với a,b,c[tex]\geq 0[/tex]

 

[Kaito Kidㅤ]

[tex](a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)\geq a^3+b^3+c^3+3.8abc \rightarrow dpcm[/tex]

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Nhân bung ra ta có :
[tex](a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)[/tex]
Ta cần chứng minh
[tex](a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc[/tex]
Áp dụng bđt Cauchy ta có
[tex]a+b\geq 2\sqrt{ab}\\b+c\geq 2\sqrt{bc}\\c+a\geq 2\sqrt{ca}[/tex]
Nhân lại ta có đpcm
dấu = xảy ra khi a=b=c

 

[Nguyễn Quế Sơn]

[tex](a+b+c)^{3}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)-a^{3}+b^{3}+c^{3}-24abc\geq 0\Leftrightarrow \Leftrightarrow (a+b)(ab+bc+ca+c^{2})-8abc\geq 0\Leftrightarrow (a^{2}b+bc^{2}-2abc)+(a^{2}c+b^{2}c-2abc)+(ac^{2}+ab^{2}-2abc)\geq 0\Leftrightarrow b(a-c)^{2}+c(a-b)^{2}+a(b-c)^{2}\geq 0[/tex] (Luôn đúng)
Vậy => đpcm

 

[Vũ Hà Quỳnh Giang]

[tex] (a+b+c)^{3}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc \Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc[/tex]
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với các cặp số dương a và b; b và c; c và a, ta có:
[tex] a+b\geq 2\sqrt{ab}; b+c\geq 2\sqrt{bc}; c+a\geq 2\sqrt{ac}[/tex]
[tex] \Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc \Rightarrow[/tex] đpcm