Toán 10 Bất đẳng thức

[Bùi Quang Phong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c>0. Chứng minh:
[tex]\sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{abc(b^2+c^2)}}+\sqrt[3]{\frac{b^2+ca}{abc(c^2+a^2)}}+\sqrt[3]{\frac{c^2+ab}{abc(a^2+b^2)}}\geq \frac{9}{a+b+c}[/tex]

 

[Kaito Kidㅤ]

[tex]\sum \sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{abc(b^2+c^2)}}=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\sum \sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{b^2+c^2}}[/tex]
Có:
[tex]\frac{a(b^{2}+c^{2})+b(a^{2}+c^{2})+c(a^{2}+b^{2})}{a^{2}+bc}=\frac{a(b^{2}+c^{2})}{a^{2}+bc}+b+c\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc(b^{2}+c^{2})}{a^{2}+bc}}\\\rightarrow \sqrt[3]{\frac{a^{2}+bc}{b^{2}+c^{2}}}\geq \frac{3(a^{2}+bc)\sqrt[3]{abc}}{a(b^{2}+c^{2})+b(c^{2}+a^{2})+c(a^{2}+b^{2})}\\\rightarrow \sum \sqrt[3]{\frac{a^{2}+bc}{b^{2}+c^{2}}}\geq \frac{3(\sum a^{2}+\sum ab).\sqrt[3]{abc}}{a(b^{2}+c^{2})+b(c^{2}+a^{2})+c(a^{2}+b^{2})}[/tex]
[tex]\sum \sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{abc(b^2+c^2)}}=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\sum \sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{b^2+c^2}}\geq \frac{3(\sum a^{2}+\sum ab)}{a(b^{2}+c^{2})+b(c^{2}+a^{2})+c(a^{2}+b^{2})}[/tex]
Giờ cần CM
[tex]\frac{3(\sum a^{2}+\sum ab)}{a(b^{2}+c^{2})+b(c^{2}+a^{2})+c(a^{2}+b^{2})}\geq \frac{9}{x+y+z}[/tex]
Nhân chéo biến đổi tương đương sẽ thành [tex]a(a-b)^{2}+c(b-c)^{2}+(a-b+c)(a-b)(b-c)\geq 0[/tex] Sẽ luôn đúng nếu ta giả sử [tex]a\geq b\geq c>0[/tex]
Vậy....
[tex]"="\Leftrightarrow a=b=c[/tex]