Toán 9 bất đẳng thức

[Nguyễn Ngọc Trà My]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng
[tex]\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+a^{2}}+\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq \frac{15}{4}[/tex]

 

[Nguyễn Quế Sơn]

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng
[tex]\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+a^{2}}+\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq \frac{15}{4}[/tex]

Ta có: [tex]\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow 1-\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}\geq 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}[/tex] (1)
CMTT ta có: [tex]1-\frac{bc}{b^{2}+c^{2}}\geq \frac{1}{2}[/tex] (2)
[tex]1-\frac{ca}{c^{2}+a^{2}}\geq \frac{1}{2}[/tex] (3)
Mặt khác: [tex]\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{1}{4}(\frac{9}{a+b+c})=\frac{9}{4} ( Schwarz)[/tex] [tex](4)[/tex]
Cộng từng vế 1,2,3,4 ta có đpcm

 

[The❀Fire♠Swordᵛᶥᶯᶣ††♥♥♥✿♫]

Ta có: [tex]\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow 1-\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}\geq 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}[/tex] (1)
CMTT ta có: [tex]1-\frac{bc}{b^{2}+c^{2}}\geq \frac{1}{2}[/tex] (2)
[tex]1-\frac{ca}{c^{2}+a^{2}}\geq \frac{1}{2}[/tex] (3)
Mặt khác: [tex]\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{1}{4}(\frac{9}{a+b+c})=\frac{9}{4} ( Schwarz)[/tex] [tex](4)[/tex]
Cộng từng vế 1,2,3,4 ta có đpcm

Ngược dấu rồi bạn ơi bạn cộng thử thì biết nhé

 

[Nguyễn Ngọc Trà My]

Ta có: [tex]\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow 1-\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}\geq 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}[/tex] (1)
CMTT ta có: [tex]1-\frac{bc}{b^{2}+c^{2}}\geq \frac{1}{2}[/tex] (2)
[tex]1-\frac{ca}{c^{2}+a^{2}}\geq \frac{1}{2}[/tex] (3)
Mặt khác: [tex]\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{1}{4}(\frac{9}{a+b+c})=\frac{9}{4} ( Schwarz)[/tex] [tex](4)[/tex]
Cộng từng vế 1,2,3,4 ta có đpcm

bạn ơi mình thấy hơi sai, đâu có ra được đâu, bạn xem lại giúp mình với

 

[The❀Fire♠Swordᵛᶥᶯᶣ††♥♥♥✿♫]

Xin phép giúp bạn theo cách khác
[tex]\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}).(a+b+c)=\frac{1}{4}(3+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a})=\frac{1}{4}(3+\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca})=\frac{3}{4}+\frac{a^2+b^2}{4ab}+\frac{b^2+c^2}{4bc}+\frac{c^2+a^2}{4ca}[/tex]
Vậy
[tex]\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+a^{2}}+\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=(\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^2+b^2}{4ab})+(\frac{bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^2+c^2}{4bc})+(\frac{c^2+a^2}{4ca}+\frac{ca}{c^{2}+a^{2}})+\frac{3}{4}\geq 1+1+1+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}(dpcm)[/tex]