Toán 9 Bất đẳng thức

[Nữ Thần Tự Do]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh với mọi n nguyên dương ta có: [tex]\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}<2[/tex]

 

[Tư Âm Diệp Ẩn]

Gọi biểu thức bên VT là A
Ta có:
[tex]\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n(n+1)}=\sqrt{n}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\sqrt{n}(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}})(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})\\ =(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})<2(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})[/tex]
Thay vào biểu thức ta có:
[tex]A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+....+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}\\ A< 2(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})\\ A<2(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}})< 2[/tex]

 

[Nữ Thần Tự Do]

Gọi biểu thức bên VT là A
Ta có:
[tex]\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n(n+1)}=\sqrt{n}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\sqrt{n}(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}})(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})\\ =(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})<2(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})[/tex]
Thay vào biểu thức ta có:
[tex]A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+....+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}\\ A< 2(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})\\ A<2(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}})< 2[/tex]

cho mình hỏi vì sao [tex](1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})<2(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})[/tex] vậy?

 

[Tư Âm Diệp Ẩn]

cho mình hỏi vì sao [tex](1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})<2(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})[/tex] vậy?

vì [tex]1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}<1+\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}}=1+1=2\\ \Leftrightarrow (1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})<2(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})[/tex]

 

[Nữ Thần Tự Do]

vì [tex]1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}<1+\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}}=1+1=2\\ \Leftrightarrow (1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})<2(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})[/tex]

cảm ơn nha