Toán 10 Bất đẳng thức

[Backup122]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR với mọi số R dương a,b ta luôn có:a²b²(a²+b²-2) lớn hơn hoặc bằng (a+b)(ab-1)

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Nhân bung ra hết là cần chứng minh
$a^4b^2+a^2b^4+a+b \geq 2a^2b^2+a^2b+ab^2$
Ta có:
$a^2b=(a\sqrt{a}b)\sqrt{a} \leq \dfrac{a^3b^2+a}{2}$
Tương tự: $ab^2 \leq \dfrac{b^3a^2+b}{2}$
Do đó cần phải chứng minh:
$2(a^4b^2+a^2b^4+a+b) \geq 4a^2b^2+a^3b^2+a^2b^3+a+b
\\\Rightarrow 2(a^4b^2+a^2b^4)+a+b \geq 4a^2b^2+a^3b^2+a^2b^3$
Mặt khác:
$a^4b^2+a^2b^2 \geq 2a^3b^2$ và $a^2b^4+a^2b^2 \geq 2a^2b^3$
Đưa về:
$a^4b^2+a^2b^4+a+b+a^3b^2+a^2b^3 \geq 6a^2b^2$
Điều này luôn đúng theo AM-GM 6 số.
Do đó có điều phải chứng minh.
Dấu bằng khi: $a=b=c=1$
P/s:Tui cũng ở Đắk Nông.