Cho [tex]0\leq a,b,c\leq 1[/tex]
Cmr .[tex]\sum \frac{a}{1+b+c} +(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1[/tex]
Không mất tính tổng quát, giả sử [tex]0\leq a\leq b\leq c\leq 1[/tex]
Khi đó: [tex]\left\{\begin{matrix} \frac{a}{1+b+c}\leq \frac{a}{1+a+b}\\\frac{b}{1+c+a}\leq \frac{b}{1+a+b} \end{matrix}\right.[/tex]
Và [tex](1+a)(1+b)=1+a+b+ab\geq 1+a+b[/tex]; [tex]0\leq 1-a^2\leq 1;0 \leq 1-b^2\leq 1[/tex]
Ta có:
[tex]\frac{a}{1+b+c}+\frac{b}{1+c+a}+\frac{c}{1+a+b} +(1-a)(1-b)(1-c)\\\leq \frac{a}{1+a+b}+\frac{b}{1+a+b}+\frac{c}{1+a+b}+\frac{(1+a+b)(1-a)(1-b)(1-c)}{1+a+b}\\\leq \frac{a+b+c}{1+a+b}+\frac{(1+a)(1+b)(1-a)(1-b)(1-c)}{1+a+b}\\=\frac{a+b+c}{1+a+b}+\frac{(1-a^2)(1-b^2)(1-c)}{1+a+b}\\\leq \frac{a+b+c}{1+a+b}+\frac{1-c}{1+a+b}\\=1(dpcm)[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex](a;b;c)=(1;0;0)[/tex] và các hoán vị của nó
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
