Toán 9 Bất đẳng thức.

[Hà Chi0503]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z > 0 . Chứng mình rằng :
[tex]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}[/tex]

 

[Tú Vy Nguyễn]

Cho x,y,z > 0 . Chứng mình rằng :
[tex]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}[/tex]

Đây là BDT Netbit bạn nha
ta có (x+y+z)(1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(x+z)) >= 9(x+y+x)/2(x+y+z)>= 9/2
=> BDT ban đầu dk CM
Gợi ý cộng 2 vế cho 3
vế trái ta có ví dụ nhé x/(y+z) +1 = (x+y+z)/(y+z)
tương tự với 2 cái kia rùi đặt x +y+z làm thừa số chung là giống với hàng đầu của mình

Đây là BĐT Nesbit, em có thể tham khảo lời giải cho bài này trên mạng, có rất nhiều.
Một cách chứng minh quen thuộc cho BĐT này:
BĐT cần chứng minh [tex]\Leftrightarrow \frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x}+1+\frac{z}{x+y}+1\geq \frac{3}{2}+3\\\Leftrightarrow \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}+\frac{x+y+z}{x+y}\geq \frac{9}{2}\\\Leftrightarrow 2(x+y+z)\left ( \frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y} \right )\geq 9\\\Leftrightarrow \left [ (y+z)+(z+x)+(x+y) \right ]\left ( \frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y} \right )\geq 9(*)[/tex]
BĐT (*) hiển nhiên đúng vì ta luôn có [tex](a+b+c)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 9[/tex] với [TEX]a,b,c>0[/TEX]

CHị Lee thế em lại vậy có dk k ạ?

 

[Ann Lee]

Cho x,y,z > 0 . Chứng mình rằng :
[tex]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}[/tex]

Đây là BĐT Nesbit, em có thể tham khảo lời giải cho bài này trên mạng, có rất nhiều.
Một cách chứng minh quen thuộc cho BĐT này:
BĐT cần chứng minh [tex]\Leftrightarrow \frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x}+1+\frac{z}{x+y}+1\geq \frac{3}{2}+3\\\Leftrightarrow \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}+\frac{x+y+z}{x+y}\geq \frac{9}{2}\\\Leftrightarrow 2(x+y+z)\left ( \frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y} \right )\geq 9\\\Leftrightarrow \left [ (y+z)+(z+x)+(x+y) \right ]\left ( \frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y} \right )\geq 9(*)[/tex]
BĐT (*) hiển nhiên đúng vì ta luôn có [tex](a+b+c)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 9[/tex] với [TEX]a,b,c>0[/TEX]

 

[Hà Chi0503]

Cho abc = 1 và [tex]a^{3}> 36.[/tex] Chứng minh rằng:
[tex]\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ac[/tex]
@Ann Lee @mỳ gói @hdiemht

 

[Hàn Thiên_Băng]

Cho abc = 1 và [tex]a^{3}> 36.[/tex] Chứng minh rằng:
[tex]\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ac[/tex]
@Ann Lee @mỳ gói @hdiemht

Ta có: [tex]\frac{a^{2}}{3} + b^{2} + c^{2} > ab + bc + ca \Leftrightarrow \frac{a^{2}}{3} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca > 0 \Leftrightarrow (\frac{a^{2}}{4} + b^{2} + c^{2} - ab + 2bc - ca) + \frac{a^{2}}{12} - 3bc > 0 \Leftrightarrow (\frac{a}{2} - b - c)^{2} + \frac{a^{2} - 36bc}{12} > 0 \Leftrightarrow (\frac{a}{2}-b-c)^{2} + \frac{a^{3}-36abc}{12a} > 0[/tex] luôn luôn đúng với abc = 1 và [tex]a^{3} > 36[/tex].
(Vì
* [tex]a^{3}[/tex] > 36 => [tex]\left\{\begin{matrix} a>0 \Rightarrow 12a>0 & \\a^{3} - 36 > 0 \Rightarrow a^{3} - 36abc > 0 (vì abc = 1) & \end{matrix}\right.[/tex] [tex]\Rightarrow \frac{a^{3}-36abc}{12} > 0[/tex]
* [tex](\frac{a}{2}-b-c)^{2} \geq 0 \forall a,b,c[/tex]. )
Mấy cái này là bđt lớp 8 mà, sao trên tiêu đề cậu lại viết là bđt lớp 9?