Toán 9 Bất đẳng thức

[PDK Films]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giúp mình với các bạn!!!

 

[Ann Lee]

View attachment 53265 Giúp mình với các bạn!!!

+)Xét bài toán phụ: Với x,y,z>0 ta luôn có: [tex](x+y+z)^{3}\leq 9(x^{3}+y^{3}+z^{3})[/tex]
Thật vậy:
Cách 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

• [tex]\frac{x^{3}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}}=\frac{3x}{\sqrt[3]{9(x^{3}+y^{3}+z^{3})}}[/tex]

Tương tự:

• [tex]\frac{y^{3}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\geq \frac{3y}{\sqrt[3]{9(x^{3}+y^{3}+z^{3})}}[/tex]
  
• [tex]\frac{z^{3}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\geq \frac{3z}{\sqrt[3]{9(x^{3}+y^{3}+z^{3})}}[/tex]

Cộng vế với vế 3 BĐT trên được:
[tex]3\geq \frac{3(x+y+z)}{\sqrt[3]{9(x^{3}+y^{3}+z^{3})}}\Leftrightarrow x+y+z\leq \sqrt[3]{9(x^{3}+y^{3}+z^{3})}\Leftrightarrow (x+y+z)^{3}\leq 9(x^{3}+y^{3}+z^{3})[/tex] (đpcm)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z
Cách 2:
Áp dụng BĐT Holder ta có: [tex](x^{3}+y^{3}+z^{3})(1+1+1)(1+1+1)\geq (x+y+z)^{3}\Leftrightarrow 9(x^{3}+y^{3}+z^{3})\geq (x+y+z)^{3}[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z
+) Trở lại bài toán chính
Áp dụng bài toán phụ ta có:
[tex](\sqrt[3]{a+2b}+\sqrt[3]{b+2c}+\sqrt[3]{c+2a})^{3}\leq 9(a+2b+b+2c+c+2a)=9.3(a+b+c)=81\Rightarrow \sqrt[3]{a+2b}+\sqrt[3]{b+2c}+\sqrt[3]{c+2a}\leq 3\sqrt[3]{3}[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1