Toán Bất đẳng thức

[quynhfc38]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y>0 chứng minh rằng $$\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{x+y} - \frac{x+y}{2} \leqslant 1/4$$

 

[quynhfc38]

có ai làm ơn giải dùm mình với

 

[quynhfc38]

đề có nghĩa là x.căn(y)+y.căn(x)/x+y - (x+y)/2 <=1/4

 

[Trần Võ Khôi Nguyên]

Không cần phải nóng vội như vậy đâu!
BĐT cần chứng minh$$\Leftrightarrow \frac{(x+y)^{2}}{2}+\frac{x+y}{4}\geq x\sqrt{y}+y\sqrt{x}$$
Ta có: $$x+\frac{1}{4}\geq \sqrt{x}$$
$$y+\frac{1}{4}\geq \sqrt{y}$$
$$\Rightarrow x+y+\frac{1}{2}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}$$

Mặt khác ta có: $$x+y\geq 2\sqrt{xy}$$
$$\Rightarrow (x+y)(x+y+\frac{1}{2})\geq 2\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})$$
$$\Rightarrow (x+y)^{2}+\frac{x+y}{2}\geq 2(x\sqrt{y}+y\sqrt{x})$$
$$\Rightarrow$$ đpcm

 

[queson75]

Không cần phải nóng vội như vậy đâu!
BĐT cần chứng minh$$\Leftrightarrow \frac{(x+y)^{2}}{2}+\frac{x+y}{4}\geq x\sqrt{y}+y\sqrt{x}$$
Ta có: $$x+\frac{1}{4}\geq \sqrt{x}$$
$$y+\frac{1}{4}\geq \sqrt{y}$$
$$\Rightarrow x+y+\frac{1}{2}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}$$

Mặt khác ta có: $$x+y\geq 2\sqrt{xy}$$
$$\Rightarrow (x+y)(x+y+\frac{1}{2})\geq 2\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})$$
$$\Rightarrow (x+y)^{2}+\frac{x+y}{2}\geq 2(x\sqrt{y}+y\sqrt{x})$$
$$\Rightarrow$$ đpcm

thánh áp dụng bài hôm bữa thi tốt đấy