Toán bất đẳng thức

chi254

chi254

Cựu Mod Toán
Thành viên
12 Tháng sáu 2015
3,306
3
4,627
724
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
Aya shameimaru said:
cho x ,y , z khác 0
C/m
[tex]\frac{x^3+y^3+z^3-xyz}{x+y+z}[/tex]
[tex]\geq 0[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Mik nghĩ cái đề phải là $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ chứ nhỉ ?
Ta có : $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \\
= (x + y)^3 - 3xy(x + y) + z^3 - 3xyz \\
= (x + y + z)[(x + y)^2 - (x + y).z + z^2] - 3xy(x + y + z) \\
= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$
Suy ra : $\dfrac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{x+y+z} = x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx$
Ta lại có : $(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 \geq 0\\
2(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \geq 0\\
x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \geq 0$
Suy ra : $\dfrac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{x+y+z} \geq 0$
Dấu ''='' xảy ra khi $x = y = z$
 
Last edited:
  • Like
Reactions: Aya shameimaru
Aya shameimaru

Aya shameimaru

Học sinh tiến bộ
Thành viên
5 Tháng ba 2017
201
154
179
Địa ngục đẫm máu
chi254 said:
Ta có : $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \\
= (x + y)^3 - 3xy(x + y) + z^3 - 3xyz \\
= (x + y + z)[(x + y)^2 - (x + y).z + z^2] - 3xy(x + y + z) \\
= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$
Suy ra : $\dfrac{x^3+y^3+z^3-xyz}{x+y+z} = x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx$
Ta lại có : $(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 \geq 0\\
2(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \geq 0\\
x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \geq 0$
Suy ra : $\dfrac{x^3+y^3+z^3-xyz}{x+y+z} \geq 0$
Dấu ''='' xảy ra khi $x = y = z$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
đoạn -3xyz nghĩa là sao??
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom