Toán Bất đẳng thức

[gabay20031]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Chứng minh:[tex]\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}<\frac{1}{3}[/tex]
2)Chứng minh:[tex]0<\sqrt{x+2}+\sqrt{4-x}\leq 2[/tex]
3)Chứng minh:S=[tex]1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}[/tex] Không là STN
4)Cho a>1,b>1.Tìm GTNN của:[tex]P=\frac{a^{2}}{b-1}+\frac{b^{2}}{a-1}[/tex]
5)CMR với mọi a,b>0 thỏa mãn ab=1 thì [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{a+b}\geq 3[/tex]
6)Cho a,b>0 thỏa mãn a+b=1.CMR:[tex](1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\geq 9[/tex]
@Nữ Thần Mặt Trăng ,@Ray Kevin,@Viet Hung 99 ,@iceghost giúp với

 

[Trịnh Hoàng Quân]

1)Chứng minh:

Đặt

(ĐKXĐ: a>1)

ĐPCM

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

1)Chứng minh:

2)Chứng minh:

3)Chứng minh:S=

Không là STN
4)Cho a>1,b>1.Tìm GTNN của:

5)CMR với mọi a,b>0 thỏa mãn ab=1 thì

6)Cho a,b>0 thỏa mãn a+b=1.CMR:

1.
Đặt $a=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$
$\Rightarrow \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}=a^2-2$
$\Rightarrow$ bt $=\dfrac{2-a}{4-a^2}=\dfrac{1}{a+2}$
Mà $a>\sqrt{2}>1\Rightarrow a+2>3\Rightarrow \dfrac{1}{a+2}<\dfrac{1}{3}$
2.
$* \ \sqrt{x+2}\geq 0;\sqrt{4-x}\geq 0\Rightarrow \sqrt{x+2}+\sqrt{4-x}\geq 0$
Dấu '=' ko xảy ra ra $\Rightarrow \sqrt{x+2}+\sqrt{4-x}>0$
$* \ (\sqrt{x+2}+\sqrt{4-x})^2\leq 2(x+2+4-x)=12\Rightarrow \sqrt{x+2}+\sqrt{4-x}\leq 2\sqrt{3}$
Dấu '=' xảy ra khi $x=1$
3. Ta có:
$\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{2\sqrt{n}}>\dfrac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$
$\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{2\sqrt{n}}<\dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$
Áp dụng vào ta có:
$S>2(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{101}-\sqrt{100})=2(\sqrt{101}-\sqrt{1})>2(\sqrt{100}-\sqrt{1})=18$
$S<1+2(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99})<1+2(\sqrt{100}-\sqrt{1})=19$
=> đpcm
4.
$P=\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}\geq 2\sqrt{\dfrac{a^2}{a-1}.\dfrac{b^2}{a-1}}=2\sqrt{\dfrac{a^2}{a-1}.\dfrac{b^2}{b-1}}$
$\dfrac{a^2}{a-1}=\dfrac{a^2-1+1}{a-1}=a+1+\dfrac{1}{a-1}=a-1+\dfrac{1}{a-1}+2\geq 4$
Tương tự $\dfrac{b^2}{b-1}\geq 4\Rightarrow P\geq 2.4=8$
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=2$
5.
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{a+b}\geq \dfrac{4}{a+b}+\dfrac{2}{a+b}=\dfrac{6}{a+b}
\\(a+b)^2\geq 4ab=4\Rightarrow a+b\geq 2\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{a+b}\geq 3$
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=1$
6.
$(1+\dfrac{1}{a})(1+\dfrac{1}{b})=1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{ab}=1+\dfrac{a+b+1}{ab}=1+\dfrac{2}{ab}
\\ab\leq \dfrac{(a+b)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow 1+\dfrac{2}{ab}\geq 1+8=9$
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=\dfrac12$

 

[matheverytime]

1)Chứng minh:[tex]\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}<\frac{1}{3}[/tex]
2)Chứng minh:[tex]0<\sqrt{x+2}+\sqrt{4-x}\leq 2[/tex]
3)Chứng minh:S=[tex]1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}[/tex] Không là STN
4)Cho a>1,b>1.Tìm GTNN của:[tex]P=\frac{a^{2}}{b-1}+\frac{b^{2}}{a-1}[/tex]
5)CMR với mọi a,b>0 thỏa mãn ab=1 thì [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{a+b}\geq 3[/tex]
6)Cho a,b>0 thỏa mãn a+b=1.CMR:[tex](1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\geq 9[/tex]
@Nữ Thần Mặt Trăng ,@Ray Kevin,@Viet Hung 99 ,@iceghost giúp với

 

[Thủ Mộ Lão Nhân]

1.
Đặt $a=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$
$\Rightarrow \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}=a^2-2$
$\Rightarrow$ bt $=\dfrac{2-a}{4-a^2}=\dfrac{1}{a+2}$
Mà $a>\sqrt{2}>1\Rightarrow a+2>3\Rightarrow \dfrac{1}{a+2}<\dfrac{1}{3}$
2.
$* \ \sqrt{x+2}\geq 0;\sqrt{4-x}\geq 0\Rightarrow \sqrt{x+2}+\sqrt{4-x}\geq 0$
Dấu '=' ko xảy ra ra $\Rightarrow \sqrt{x+2}+\sqrt{4-x}>0$
$* \ (\sqrt{x+2}+\sqrt{4-x})^2\leq 2(x+2+4-x)=12\Rightarrow \sqrt{x+2}+\sqrt{4-x}\leq 2\sqrt{3}$
Dấu '=' xảy ra khi $x=1$
3. Ta có:
$\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{2\sqrt{n}}>\dfrac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$
$\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{2\sqrt{n}}<\dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$
Áp dụng vào ta có:
$S>2(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{101}-\sqrt{100})=2(\sqrt{101}-\sqrt{1})>2(\sqrt{100}-\sqrt{1})=18$
$S<1+2(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99})<1+2(\sqrt{100}-\sqrt{1})=19$
=> đpcm
4.
$P=\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}\geq 2\sqrt{\dfrac{a^2}{a-1}.\dfrac{b^2}{a-1}}=2\sqrt{\dfrac{a^2}{a-1}.\dfrac{b^2}{b-1}}$
$\dfrac{a^2}{a-1}=\dfrac{a^2-1+1}{a-1}=a+1+\dfrac{1}{a-1}=a-1+\dfrac{1}{a-1}+2\geq 4$
Tương tự $\dfrac{b^2}{b-1}\geq 4\Rightarrow P\geq 2.4=8$
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=2$
5.
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{a+b}\geq \dfrac{4}{a+b}+\dfrac{2}{a+b}=\dfrac{6}{a+b}
\\(a+b)^2\geq 4ab=4\Rightarrow a+b\geq 2\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{a+b}\geq 3$
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=1$
6.
$(1+\dfrac{1}{a})(1+\dfrac{1}{b})=1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{ab}=1+\dfrac{a+b+1}{ab}=1+\dfrac{2}{ab}
\\ab\leq \dfrac{(a+b)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow 1+\dfrac{2}{ab}\geq 1+8=9$
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=\dfrac12$

Câu 5 sai rồi bác ơi. ^^

 

[Thần mộ 2]

1.
Đặt $a=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$
$\Rightarrow \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}=a^2-2$
$\Rightarrow$ bt $=\dfrac{2-a}{4-a^2}=\dfrac{1}{a+2}$
Mà $a>\sqrt{2}>1\Rightarrow a+2>3\Rightarrow \dfrac{1}{a+2}<\dfrac{1}{3}$
2.
$* \ \sqrt{x+2}\geq 0;\sqrt{4-x}\geq 0\Rightarrow \sqrt{x+2}+\sqrt{4-x}\geq 0$
Dấu '=' ko xảy ra ra $\Rightarrow \sqrt{x+2}+\sqrt{4-x}>0$
$* \ (\sqrt{x+2}+\sqrt{4-x})^2\leq 2(x+2+4-x)=12\Rightarrow \sqrt{x+2}+\sqrt{4-x}\leq 2\sqrt{3}$
Dấu '=' xảy ra khi $x=1$
3. Ta có:
$\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{2\sqrt{n}}>\dfrac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$
$\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{2\sqrt{n}}<\dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$
Áp dụng vào ta có:
$S>2(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{101}-\sqrt{100})=2(\sqrt{101}-\sqrt{1})>2(\sqrt{100}-\sqrt{1})=18$
$S<1+2(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99})<1+2(\sqrt{100}-\sqrt{1})=19$
=> đpcm
4.
$P=\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}\geq 2\sqrt{\dfrac{a^2}{a-1}.\dfrac{b^2}{a-1}}=2\sqrt{\dfrac{a^2}{a-1}.\dfrac{b^2}{b-1}}$
$\dfrac{a^2}{a-1}=\dfrac{a^2-1+1}{a-1}=a+1+\dfrac{1}{a-1}=a-1+\dfrac{1}{a-1}+2\geq 4$
Tương tự $\dfrac{b^2}{b-1}\geq 4\Rightarrow P\geq 2.4=8$
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=2$
5.
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{a+b}\geq \dfrac{4}{a+b}+\dfrac{2}{a+b}=\dfrac{6}{a+b}
\\(a+b)^2\geq 4ab=4\Rightarrow a+b\geq 2\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{a+b}\geq 3$
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=1$
6.
$(1+\dfrac{1}{a})(1+\dfrac{1}{b})=1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{ab}=1+\dfrac{a+b+1}{ab}=1+\dfrac{2}{ab}
\\ab\leq \dfrac{(a+b)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow 1+\dfrac{2}{ab}\geq 1+8=9$
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=\dfrac12$

Ở bài 5 xài ngược dấu rồi $a+b \geq 2$ thì $\Rightarrow \dfrac{6}{a+b} \leq 3$ ko phải $\geq 3$ hay nói cáck khác ta chưa có đpcm

 

[Ray Kevin]

5)CMR với mọi a,b>0 thỏa mãn ab=1 thì

$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{a+b}=a+b+\dfrac{2}{a+b}=\dfrac{a+b}{2}+(\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{2}{a+b}) \ge 1+2=3$$
(Vì $a+b \ge 2 \sqrt{ab}=2$)
Dấu '=' xảy ra khi : $a=b=1$

 

[W_Echo74]

$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{a+b}=a+b+\dfrac{2}{a+b}=\dfrac{a+b}{2}+(\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{2}{a+b}) \ge 1+2=3$$
(Vì $a+b \ge 2 \sqrt{ab}=2$)
Dấu '=' xảy ra khi : $a=b=1$

Bác mathevery làm rồi mà thánh ?!

 

[Ray Kevin]

Bác mathevery làm rồi mà thánh ?!

Sorry không để ý :V