Ta có HĐT: x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)
=> x2+y2+z2−xy−yz−zx=x+y+zx3+y3+z3−3xyz=6x3+y3+z3−3xyz
=> x2+y2+z2−xy−yz−zx+xyz=6x3+y3+z3−3xyz+xyz=6x3+y3+z3+3xyz
Cần cm x3+y3+z3+3xyz≥48
Ta có: x3+y3+z3=(x+y+z)3−3(x+y)(y+z)(z+x)=216−3(6−x)(6−y)(6−z)=216−18(xy+yz+zx)+3xyz
Do đó x3+y3+z3+3xyz=216−18(xy+yz+zx)+6xyz (1)
Ta có BĐT phụ vs x,y,z là 3 cạnh của tam giác: xyz≥(x+y−z)(y+z−x)(z+x−y)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có (x+y−z)(y+z−x)≤4[(x+y−z)+(y+z−x)]2=y2.
Tương tự rồi nhân vs nhau ta đc BĐT trên
Áp dụng BĐT trên vào ta có: xyz≥(x+y−z)(y+z−x)(z+x−y)=(6−2x)(6−2y)(6−2z) ⟺xyz≥24(xy+yz+zx)−8xyz−216 ⟺9xyz≥24(xy+yz+zx)−216 ⟺6xyz≥16(xy+yz+zx)−144 (2)
Từ (1) và (2) => x3+y3+z3+3xyz≥72−2(xy+yz+zx)≥72−2.31(x+y+z)2 ⟺x3+y3+z3+3xyz≥48 (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=2