Toán Bất đẳng thức

toilatot

Banned
Banned
Thành viên
1 Tháng ba 2017
3,368
2,140
524
Hà Nam
THPT Trần Hưng Đạo -Nam Định
chào bạn ^^

Đây là câu trả lời của mình:

x²+y²+z²-xy-yz-xz + xyz

⇔(x+y+z)² - 3(xy+yz+zx) + xyz

Áp dụng BĐT Cauchy ngược dấu ta có:

3(xy+yz+xz) ≤ (x+y+z)² ⇒(x+y+z)² - 3(xy+yz+zx) ≥ 0 (1)

xyz ≤ [ (x+y+z)/3]³ = 8(2)

từ( 1)(2) ⇒ x²+y²+z²-xy-yz-xz + xyz ≥ 8 (đpc/m)
 

Nữ Thần Mặt Trăng

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT tích cực 2017
28 Tháng hai 2017
4,472
5,490
779
Hà Nội
THPT Đồng Quan
Cho
gif.latex
. CMR:
gif.latex

Các thánh đại ơi làm giúp em bài này nhé!
Mk nghĩ đề bài thiếu x,y,zx,y,z dương
VD:x+y+z=6+6+6=6x+y+z=-6+6+6=6 nhưng (6)2+62+62(6).66.6(6).6+(6).6.6=72(-6)^2+6^2+6^2-(-6).6-6.6-(-6).6+(-6).6.6=-72
 

Trịnh Hoàng Quân

Học sinh tiến bộ
Thành viên
15 Tháng ba 2017
540
664
169
23
Mk nghĩ đề bài thiếu x,y,zx,y,z dương
VD:x+y+z=6+6+6=6x+y+z=-6+6+6=6 nhưng (6)2+62+62(6).66.6(6).6+(6).6.6=72(-6)^2+6^2+6^2-(-6).6-6.6-(-6).6+(-6).6.6=-72
uk, mình xin lỗi , đề bài của mình thiếu dương
 

Nữ Thần Mặt Trăng

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT tích cực 2017
28 Tháng hai 2017
4,472
5,490
779
Hà Nội
THPT Đồng Quan
Cho
gif.latex
. CMR:
gif.latex

Các thánh đại ơi làm giúp em bài này nhé!
Ta có HĐT: x3+y3+z33xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2xyyzzx)x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
=> x2+y2+z2xyyzzx=x3+y3+z33xyzx+y+z=x3+y3+z33xyz6x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\dfrac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{x+y+z}=\dfrac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{6}
=> x2+y2+z2xyyzzx+xyz=x3+y3+z33xyz6+xyz=x3+y3+z3+3xyz6x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx+xyz=\dfrac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{6}+xyz=\dfrac{x^3+y^3+z^3+3xyz}{6}
Cần cm x3+y3+z3+3xyz48x^3+y^3+z^3+3xyz\geq 48
Ta có: x3+y3+z3=(x+y+z)33(x+y)(y+z)(z+x)=2163(6x)(6y)(6z)=21618(xy+yz+zx)+3xyzx^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)=216-3(6-x)(6-y)(6-z)=216-18(xy+yz+zx)+3xyz
Do đó x3+y3+z3+3xyz=21618(xy+yz+zx)+6xyzx^3+y^3+z^3+3xyz=216-18(xy+yz+zx)+6xyz (1)
Ta có BĐT phụ vs x,y,zx,y,z là 3 cạnh của tam giác: xyz(x+yz)(y+zx)(z+xy)xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có (x+yz)(y+zx)[(x+yz)+(y+zx)]24=y2(x+y-z)(y+z-x)\leq \dfrac{[(x+y-z)+(y+z-x)]^2}{4}=y^2.
Tương tự rồi nhân vs nhau ta đc BĐT trên
Áp dụng BĐT trên vào ta có:
xyz(x+yz)(y+zx)(z+xy)=(62x)(62y)(62z)xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)=(6-2x)(6-2y)(6-2z)
    xyz24(xy+yz+zx)8xyz216\iff xyz\geq 24(xy+yz+zx)-8xyz-216
    9xyz24(xy+yz+zx)216\iff 9xyz\geq 24(xy+yz+zx)-216
    6xyz16(xy+yz+zx)144\iff 6xyz\geq 16(xy+yz+zx)-144 (2)
Từ (1) và (2) => x3+y3+z3+3xyz722(xy+yz+zx)722.13(x+y+z)2x^3+y^3+z^3+3xyz\geq 72-2(xy+yz+zx)\geq 72-2.\dfrac{1}{3}(x+y+z)^2
    x3+y3+z3+3xyz48\iff x^3+y^3+z^3+3xyz\geq 48 (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=2x=y=z=2
 
Last edited:
Top Bottom