Toán Bất đẳng thức

[Trịnh Hoàng Quân]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho

. CMR:

Các thánh đại ơi làm giúp em bài này nhé!

 

[toilatot]

chào bạn ^^

Đây là câu trả lời của mình:

x²+y²+z²-xy-yz-xz + xyz

⇔(x+y+z)² - 3(xy+yz+zx) + xyz

Áp dụng BĐT Cauchy ngược dấu ta có:

3(xy+yz+xz) ≤ (x+y+z)² ⇒(x+y+z)² - 3(xy+yz+zx) ≥ 0 (1)

xyz ≤ [ (x+y+z)/3]³ = 8(2)

từ( 1)(2) ⇒ x²+y²+z²-xy-yz-xz + xyz ≥ 8 (đpc/m)

 

[tranhainam1801]

xyz ≤ [ (x+y+z)/3]³ = 8(2)

cần dấu lớn hơn mà ???

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Cho

. CMR:

Các thánh đại ơi làm giúp em bài này nhé!

Mk nghĩ đề bài thiếu $x,y,z$ dương
VD:$x+y+z=-6+6+6=6$ nhưng $(-6)^2+6^2+6^2-(-6).6-6.6-(-6).6+(-6).6.6=-72$

 

[Trịnh Hoàng Quân]

Mk nghĩ đề bài thiếu $x,y,z$ dương
VD:$x+y+z=-6+6+6=6$ nhưng $(-6)^2+6^2+6^2-(-6).6-6.6-(-6).6+(-6).6.6=-72$

uk, mình xin lỗi , đề bài của mình thiếu dương

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Cho

. CMR:

Các thánh đại ơi làm giúp em bài này nhé!

Ta có HĐT: $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
=> $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\dfrac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{x+y+z}=\dfrac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{6}$
=> $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx+xyz=\dfrac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{6}+xyz=\dfrac{x^3+y^3+z^3+3xyz}{6}$
Cần cm $x^3+y^3+z^3+3xyz\geq 48$
Ta có: $x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)=216-3(6-x)(6-y)(6-z)=216-18(xy+yz+zx)+3xyz$
Do đó $x^3+y^3+z^3+3xyz=216-18(xy+yz+zx)+6xyz$ (1)
Ta có BĐT phụ vs $x,y,z$ là 3 cạnh của tam giác: $xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có $(x+y-z)(y+z-x)\leq \dfrac{[(x+y-z)+(y+z-x)]^2}{4}=y^2$.
Tương tự rồi nhân vs nhau ta đc BĐT trên
Áp dụng BĐT trên vào ta có:
$xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)=(6-2x)(6-2y)(6-2z)$
$\iff xyz\geq 24(xy+yz+zx)-8xyz-216$
$\iff 9xyz\geq 24(xy+yz+zx)-216$
$\iff 6xyz\geq 16(xy+yz+zx)-144$ (2)
Từ (1) và (2) => $x^3+y^3+z^3+3xyz\geq 72-2(xy+yz+zx)\geq 72-2.\dfrac{1}{3}(x+y+z)^2$
$\iff x^3+y^3+z^3+3xyz\geq 48$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=2$