Toán Bất đẳng thức

[Erza scarlet]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Cho a,b là những số dương .CM : [tex]\frac{a}{b^{2}} +\frac{b}{a^{2}} \geq \frac{1}{a} +\frac{1}{b}[/tex]
2, Cho tam giác ABC bất kì.CMR:
[tex]1+\frac{1}{2}x^{2}\geq cos A+x(cos B+cos C)[/tex]
với mọi x thuộc R

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

1, Cho a,b là những số dương .CM : [tex]\frac{a}{b^{2}} +\frac{b}{a^{2}} \geq \frac{1}{a} +\frac{1}{b}[/tex]
2, Cho tam giác ABC bất kì.CMR:
[tex]1+\frac{1}{2}x^{2}\geq cos A+x(cos B+cos C)[/tex]
với mọi x thuộc R

$\dfrac{a}{b^{2}} +\dfrac{b}{a^{2}} \geq \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b}\\\Leftrightarrow \dfrac{a}{b^{2}} +\dfrac{b}{a^{2}}-\dfrac{1}{a} -\dfrac{1}{b}\geq 0\\\Leftrightarrow \dfrac{a^3-ab^2+b^3-a^2b}{a^2b^2}\geq 0\\mà \ a,b>0\Rightarrow a^3-ab^2+b^3-a^2b\geq 0\\\Leftrightarrow (a^3+b^3)-(a^2b+ab^2)\geq 0\\\Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)\geq 0\\\Leftrightarrow (a+b)(a^2-2ab+b^2)\geq 0\\\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0(luôn \ đúng)$

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

$\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{1}{a} \geq 2\sqrt{\dfrac{a}{b^2}.\dfrac{1}{a}}=\dfrac{2}{b}$.
Chứng minh tương tự ta có:
$\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{1}{b} \geq \dfrac{2}{b}
\\\Rightarrow \dfrac{b}{a^2}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{1}{a} \geq \dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}
\\\Rightarrow \dfrac{b}{a^2}+\dfrac{a}{b^2} \geq \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$

 

[iceghost]

2, Cho tam giác ABC bất kì.CMR:

với mọi x thuộc R

Ta có $\cos A + x(\cos B + \cos C)$
$= \sin B \sin C - \cos B \cos C + x(\cos B + \cos C)$
$\leqslant \dfrac12 (\sin^2 B + \sin^2 C) - \cos B \cos C + \dfrac12 [x^2 + (\cos B + \cos C)^2]$
$= 1 + \dfrac12 x^2$
Vậy ...

 

[Erza scarlet]

⩽12(sin2B+sin2C)−cosBcosC+12[x2+(cosB+cosC)2]⩽12(sin2⁡B+sin2⁡C)−cos⁡Bcos⁡C+12[x2+(cos⁡B+cos⁡C)2]

Bạn có thể giải thích chỗ này được không?

 

[iceghost]

Bạn có thể giải thích chỗ này được không?

Áp dụng $ab \leqslant \dfrac12 (a^2+b^2)$ thôi bạn