Toán Bất Đẳng Thức

[manh550]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho x,y,z thuộc đoạn [0;1]. CMR:
[tex]\frac{x}{1+x^2}+\frac{y}{1+y^2}+\frac{z}{1+z^2}\leq 2[/tex]

2.Cho 3 số dương a,b,c. CMR:
[tex]\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{a+b+c}{2abc}[/tex]

3.Cho a,b,c >0. CMR:
[tex]\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq 2[/tex]

 

[Viet Hung 99]

2.Cho 3 số dương a,b,c. CMR:
[tex]\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{a+b+c}{2abc}[/tex]

Áp dụng bất đẳng thức cô - si ta có:
[tex]\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ac}+\dfrac{1}{c^2+ab} \leq \dfrac{1}{2a\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{2b\sqrt{ca}}+\dfrac{1}{2c\sqrt{ab}} =\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc} \leq\dfrac{a+b+c}{2abc}[/tex]

 

[Viet Hung 99]

3.Cho a,b,c >0. CMR:
[tex]\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\geq 2[/tex]

Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có:
[tex]\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\dfrac{a}{\sqrt{a(b+c)}} \ge \dfrac{2a}{a+b+c}[/tex]
Tương tự: [tex]\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}\ge \dfrac{2b}{a+b+c} ;\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge \dfrac{2c}{a+b+c}[/tex]
Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta được:
$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}} \ge 2$
Dấu bằng không xảy ra

 

[Tú Tí Tỡn ( Vozer)]

[tex]\frac{x}{1+x^{2}}\leq \frac{x}{2.x}=\frac{1}{2}[/tex]
tương tự chứng minh [tex]\frac{y}{1+y^{2}}\leq \frac{y}{2.y}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\frac{z}{1+z^{2}}\leq \frac{z}{2.z}=\frac{1}{2}[/tex]
cộng từng vế suy ra VT<= 3/2<2
dấu bằng ở đây k xảy ra