1) Chứng minh rằng: a)[tex]2(a^10+b^10) \geq (a^4+b^4)(a^6+b^6)[/tex]
2)[tex](a+b)(a^5+b^5) \geq (a^4+b^4)(a^2+b^2)[/tex]
3) cho [tex]a,b,c \in [0,1][/tex]. Cmr:
[tex]a^2+b^2+c^2 \leq 1+a^2.b+b^2.c+c^2.a[/tex]
4)
[tex]x,y,z \in R[/tex]. Cmr:
[tex]\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{x^2+zx+x^2}\geq \sqrt{3(x+y+z)}[/tex]
Câu 1: Mình chứng minh trường hợp tổng quát luôn:
Đề bài tổng quát: Cho $a,b$ là những số thực không âm. Chứng minh rằng: $a^{m+n}+b^{m+n}\ge \frac{1}{2}(a^m+b^m)(a^n+b^n)(1)$.
Chứng minh: Ta có: $(1)\iff (a^m-b^m)(a^n-b^n)\ge 0$. Điều này đúng vì là tích của hai biểu thức cùng dấu.
Quay lại bài toán trên là trường hợp cho $m=6;n=4$.
Câu 2: Ta có: $(a+b)(a^5+b^5)\ge (a^4+b^4)(a^2+b^2)\iff ab^5+a^5b\ge a^4b^2+a^2b^4$.
Thật vậy. Áp dụng Cauchy cho 3 số ta có:
$b^5a+b^5a+b^2a^4\ge 3\sqrt[3]{b^{12}a^6}=3b^4a^2(1)$.
$a^5b+a^5b+a^2b^4\ge 3\sqrt[3]{a^{12}b^6}=3a^4b^2(2)$.
Cộng (1) và (2) ta có dpcm.
Câu 3: Do $a,b,c\in [0;1]$ nên $a^2\le a;b^2\le b;c^2\le c$.
Khi đó BDT cần chứng minh tương đương: $P=a^2(1-b)+b^2(1-c)+c^2(1-a)\le 1$.
Thật vậy: Ta có: $P\le a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)=(a+b+c)-(ab+bc+ca)\rightarrow Q$.
Ta đi CM $Q\le 1$.
Lại có: $(1-a)(1-b)(1-c)\ge 0\iff 1-(a+b+c)+ab+bc+ca-abc \ge 0\iff ab+bc+ca-(a+b+c)\ge abc-1\ge -1$
(do $abc\ge 0).
Nên $Q=(a+b+c)-(ab+bc+ca)\le 1\implies dpcm$.
Câu 4: Câu này hình như đề đúng phải là: $\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\ge \sqrt{3}(x+y+z)$ chứ.
Chứng minh:
Ta có: $x^2+xy+y^2=\frac{1}{4}(x-y)^2+\frac{3}{4}(x+y)^2\ge \frac{3}{4}(x+y)$
$\implies \sqrt{x^2+xy+y^2}\ge \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)$.
Chứng minh cho các cái còn lại rồi cộng lại vế theo vế ta có dpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
