Toán Bất đẳng thức

[trinhhoangnhi1412]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
   [tex]\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}+\frac{ab+bc+ca}{abc}\geq \frac{9}{2}[/tex]
   
   
2. Chứng minh rằng: [tex]asina-bsinb > 2(cosb-cosa)[/tex] với [tex]0< a< b<\frac{\pi }{2}[/tex]
   
   
3. Cho a,b là hai số thực dương thay đổi thỏa điều kiện [tex]a+b=1[/tex] . Chứng minh rằng
   [tex]ab+\frac{1}{ab}\geq \frac{17}{4}[/tex]
   
   
4. Chứng minh rằng với mọi số thực [tex]x[/tex] và [tex]y[/tex], ta có:
   [tex](x+y)^{6}\leq 32(x^{6}+y^{6})[/tex]
   
   
5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
   a) [tex]P= \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}+\frac{ab+bc+ca}{abc}[/tex] với
   [tex]a,b,c> 0[/tex]
   
   b)$P=\frac{a^{4}}{b^{4}}+\frac{b^{4}}{a^{4}}-(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}{a^{2}})+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ với [tex]a,b\neq 0[/tex]

 

[trinhhoangnhi1412]

5. b)

[tex]P=\frac{a^{4}}{b^{4}}+\frac{b^{4}}{a^{4}}-(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}})+ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}[/tex]
với [tex]a,b\neq 0[/tex]

 

[leminhnghia1]

1. Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
   [tex]\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}+\frac{ab+bc+ca}{abc}\geq \frac{9}{2}[/tex]

Áp dụng bđt: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \geq \dfrac{9}{a+b+c}$ (Schwaz)
$\iff \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{6}+\dfrac{9}{a+b+c}$
$=\dfrac{(a+b+c)^2}{6}+\dfrac{9}{2(a+b+c)}+\dfrac{9}{2(a+b+c)} \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{6}.\dfrac{9}{2}.\dfrac{9}{2}}=\dfrac{9}{2}$

Dấu "=" $\iff a=b=c$
3,$ab+\dfrac{1}{ab}=ab+\dfrac{1}{16ab}+\dfrac{15}{16ab} \geq 2\sqrt{\dfrac{1}{16}}+\dfrac{15}{4(a+b)^2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}$

Dấu "=" $\iff a=b=\dfrac{1}{2}$

 

[leminhnghia1]

1. Chứng minh rằng với mọi số thực [tex]x[/tex] và [tex]y[/tex], ta có:
   [tex](x+y)^{6}\leq 32(x^{6}+y^{6})[/tex]

Chứng minh bằng biến đổi tương đương:
$\iff 32(x^6+y^6)-(x+y)^6 \geq 0$
$\iff (x-y)^2(31x^4+56x^3y+66x^2y^2+56xy^3+31y^4) \geq 0$ (*)
Ta có $31x^4+56x^3y+66x^2y^2+56xy^3+31y^4=x^2(31x^2+56xy+33y^2)+y^2(33x^2+56xy+21y^2)>0$

Vậy (*) luôn đúng, dấu"=" $\iff a=b$