bất đẳng thức???????????

L

lethiquynhhien

bạn sử dụng BĐT phụ [TEX]a^3+b^3 \geq ab(a+b)[/TEX] thì được:
BĐT đã cho[TEX]\leq \frac{1}{ab(a+b)+1}+\frac{1}{bc(b+c)+1}+\frac{1}{ca(c+a)+1} = \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c} [/TEX](do abc=1)[TEX]\leq1[/TEX](đpcm)
 
Last edited by a moderator:
H

hoangtuan_241190

cách giải của bạn chưa hoàn chỉnh!đề bài của mình là số thực chứ ko phải số thực dương!mà bất đẳng thức[TEX]a^3+b^3\geq ab(a+b)[/TEX] chi đúng trong trường hợp a+b\geq 0 thôi!còn a+b\leq0 thi ta thu được bdt ngược chiều với bdt trên!
 
T

traquangquy

mọi ngùi cùng làm nhá

1giả sử a,b,c ;à các số ko âm sao cho a+b+c =3
Cm////
[TEX]\frac1{2ab^2+1}+\frac1{2bc^2+1}+\frac1{2ca^2+1} \geq 1[/TEX]

2//cho a;b;c dương sao cho a+b+c=3

cm // [TEX]abc+\frac{12}{ab+bc+ca}\geq5[/TEX]

3// cho a;b;c là độ dài 3 cạnh của tam giác có diện tích là A
cm [TEX]a^2+b^2+c^2\geq4\sqrt{3}A[/TEX]

4// cho 3 số thực dương a; b; c có abc=1
cm [TEX](a-1+\frac1{b})(b-1+\frac1{c})(c-1+\frac1{a})\leq1[/TEX]
5// cho a;b;c là các số dương sao cho [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]

cm// [TEX]5(a+b+c)+\frac3{abc}\geq18[/TEX]

6// cho a;b;c là các số thực dương; cmr [TEX]\frac1{a(1+b)}+\frac1{b(1+c)}+\frac1{c(1+a)} \geq \frac3{1+abc}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
G

giangln.thanglong11a6

traquangquy said:
2//cho a;b;c dương sao cho [TEX]a+b+c=3[/TEX]
[TEX]CMR \ \ \ abc+\frac{12}{ab+bc+ca}\geq5[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ta xét bổ đề sau:

BĐT Schur: Cho a, b, c không âm. Khi đó ta có:

[TEX](a+b+c)^3+9abc \geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)[/TEX]

Chứng minh bằng cách khai triển và rút gọn, đưa về BĐT sau:

[TEX](a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc \ \ \ [*][/TEX]

Đến đây ta thấy trong 3 số (a+b-c), (b+c-a), (c+a-b) chắc chắn không có 2 số nào cùng âm. Thật vậy, nếu [TEX](a+b-c)<0, (b+c-a)<0 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow (a+b-c)+(b+c-a)<0 \Leftrightarrow 2b<0[/TEX] trái giả thiết.

Nếu trong 3 số đó có 1 số âm thì BĐT [*] hiển nhiên đúng (VT âm, VP không âm)

Nếu cả 3 số cùng dương, áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số:

[TEX]\sqrt{(a+b-c)(b+c-a)} \leq \frac{(a+b-c)+(b+c-a)}2=b[/TEX]

[TEX]\sqrt{(b+c-a)(c+a-b)} \leq \frac{(b+c-a)+(c+a-b)}2=c[/TEX]

[TEX]\sqrt{(c+a-b)(a+b-c)} \leq \frac{(c+a-b)+(a+b-c)}2=a[/TEX]

Nhân theo vế 3 BĐT trên suy ra dpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Như vậy áp dụng ngay Schur vào bài toán trên ta có

[TEX]3^3+9abc \geq 4.3(ab+bc+ca) \Leftrightarrow abc \geq \frac43 (ab+bc+ca)-3[/TEX]

Như vậy:[TEX] abc+\frac{12}{ab+bc+ca}\geq\frac43 (ab+bc+ca)-3+\frac{12}{ab+bc+ca} [/TEX]

[TEX]\geq 2\sqrt{\frac43 (ab+bc+ca).\frac{12}{ab+bc+ca}}-3=5[/TEX]

BĐT được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
 
Last edited by a moderator:
G

giangln.thanglong11a6

traquangquy said:
Cho a, b, c dương và [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]

[TEX]CMR \ \ \ 5(a+b+c)+\frac3{abc}\geq18[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ta sẽ chứng minh bổ đề sau:
Cho a, b, c không âm. Chứng minh rằng [TEX](ab+bc+ca)^2 \geq 3abc(a+b+c) \ \ \ [*][/TEX]

Thật vậy, khai triển ta có [TEX][*]\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2acb^2+2abc^2+2bca^2 [/TEX]
[TEX]\geq 3a^2bc+3acb^2+3abc^2[/TEX]​

[TEX]\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq a^2bc+acb^2+abc^2[/TEX]

Mà [TEX]a^2b^2+c^2a^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2.c^2a^2}=2a^2bc[/TEX]

[TEX]a^2b^2+b^2c^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2.b^2c^2}=2b^2ac[/TEX]

[TEX]b^2c^2+c^2a^2 \geq 2\sqrt{b^2c^2.c^2a^2}=2c^2ab[/TEX]

Cộng theo vế 3 BĐT trên suy ra dpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Trở lại bài toán. Đặt [TEX]a+b+c=x \geq \sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt3[/TEX]

Từ giả thiết ta có [TEX]ab+bc+ca=\frac{x^2-3}2[/TEX]

Như vậy theo bổ đề [TEX](ab+bc+ca)^2 \geq 3abc(a+b+c) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac3{abc} \geq \frac{9x}{(ab+bc+ca)^2}=\frac{36x}{(x^2-3)^2}[/TEX]

Ta cần chứng minh [TEX]5x+\frac{36x}{(x^2-3)^2} \geq 18 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 5x(x^2-3)^2+36x \geq 18(x^2-3)^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x-3)^2(5x^3+12x^2-3x-18) \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x-3)^2 [5x^3+3x(x-1)+9(x^2-2)] \geq 0[/TEX] đúng vì [TEX]x \geq \sqrt3[/TEX]

Đẳng thức xảy ra khi x=3 hay a=b=c=1. BĐT được CM xong.
 
C

ctsp_a1k40sp

traquangquy said:
3// cho a;b;c là độ dài 3 cạnh của tam giác có diện tích là A
cm [TEX]a^2+b^2+c^2\geq4\sqrt{3}A[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bình phương rồi rút gọn ta cần chứng minh

[TEX](a^2+b^2+c^2)^2 \geq 48p(p-a)(p-b)(p-c)[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX] (a^2+b^2+c^2)^2 \geq 3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)[/TEX]

Dễ có vế phải \leq[TEX] 3(a+b+c).(a+b+c)^3 .\frac{1}{27}[/TEX]
Ta cần chứng minh

[TEX](a^2+b^2+c^2)^2 \geq \frac{1}{9} (a+b+c)^4[/TEX]

Hiển nhiên đúng vì ta có

[TEX]a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{3}(a+b+c)^2 [/TEX]
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom