bất đẳng thức

[botvit]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c >0 a+b+c \leq 1
Tìm min $$\sqrt[]{a^2 +\frac{1}{b+c}}+\sqrt[]{b^2+\frac{1}{a+c}}+\sqrt[]{c^2+ \frac{1}{a+b}}$$

 

[lethiquynhhien]

Dặt biểu thức đã cho là A
Áp dụng BDT Mincopski ta được:
[TEX]A\geq\sqrt[]{(a+b+c)^2+(\frac{1}{\sqrt[]{a+b}}+\frac{1}{\sqrt[]{b+c}}+\frac{1}{\sqrt[]{c+a}}})^2\geq\sqrt[]{(a+b+c)^2+\frac{81}{(\sqrt[]{a+b}+\sqrt[]{b+c}+\sqrt[]{c+a})^2}}\geq\sqrt[]{(a+b+c)^2+\frac{27}{2(a+b+c)}}[/TEX]
Tiếp theo bạn chỉ cần tách ra rồi sử dụng BDT AM-GM cho 3 số là được

 

[botvit]

Dặt biểu thức đã cho là A
Áp dụng BDT Mincopski ta được:
[TEX]A\geq\sqrt[]{(a^2+b^2+c^2)+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}}\geq\sqrt[]{\frac{(a+b+c)^2}{3}+\frac{9}{2(a+b+c)}}[/TEX]
Tiếp theo bạn chỉ cần tách ra rồi sử dụng BDT AM-GM cho 3 số là được

mincopki la BT có dạng gì hả bạn?
..................................................................

 

[hello114day]

à cái BĐT Minicopxki đó là :
$$\sqrt{a^2 + b^2 } + \sqrt{c^2 + d^2} \geq \sqrt {(a+c)^2 + (c+d)^2}$$

 

[giangln.thanglong11a6]

mincopki la BT có dạng gì hả bạn?

BĐT Mincovski là hệ quả của BĐT Bunyacovski. Dạng tổng quát:

[TEX]\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2+...+b_n^2} \geq \sqrt{(a_1+a_2+a_3+...a_n)^2+(b_1+b_2+b_3+...b_n)^2}[/TEX]

Thông dụng nhất là dạng với 3 cặp số:

[TEX]\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2} \geq \sqrt{(a_1+a_2+a_3)^2+(b_1+b_2+b_3)^2}[/TEX]

Do là hệ quả của Bunyacovski, nên dấu bằng của nó cũng tương tự, đạt được khi [TEX]\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}[/TEX]

Việc chứng minh BĐT này các bạn có thể dùng chính Bunyacovski hoặc dùng phương pháp hình học vector.

 

[botvit]

Dặt biểu thức đã cho là A
Áp dụng BDT Mincopski ta được:
[TEX]A\geq\sqrt[]{(a+b+c)^2+(\frac{1}{\sqrt[]{a+b}}+\frac{1}{\sqrt[]{b+c}}+\frac{1}{\sqrt[]{c+a}}})^2\geq\sqrt[]{(a+b+c)^2}+\frac{81}{(\sqrt[]{a+b}+\sqrt[]{b+c}+\sqrt[]{c+a})^2}}\geq\sqrt[]{(a+b+c)^2+\frac{27}{2(a+b+c)}}[/TEX]
Tiếp theo bạn chỉ cần tách ra rồi sử dụng BDT AM-GM cho 3 số là được

sao ra được doạn cuối vậy bạn chỉ mình cụ thể nha
..........................

 

[lethiquynhhien]

sao ra được doạn cuối vậy bạn chỉ mình cụ thể nha
..........................

[TEX](\sqrt[]{a+b}+\sqrt[]{b+c}+\sqrt[]{c+a})^2\leq3(a+b+b+c+c+a)=6(a+b+c)[/TEX](theo BDT bunhiacopski)
[TEX]\Rightarrow\frac{81}{(\sqrt[]{a+b}+\sqrt[]{b+c}+\sqrt[]{c+a})^2}\geq\frac{81}{6(a+b+c)}=\frac{27}{2(a+b+c)}[/TEX]
Sau đó bạn tách [TEX]\frac{27}{2(a+b+c)}[/TEX]thành[TEX]\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+c}+\frac{23}{2(a+b+c)}[/TEX]
Sau đó sử dụng BDT AM-GM cho 3 số [TEX](a+b+c)^2, \frac{1}{a+b+c},\frac{1}{a+b+c}[/TEX]và sử dụng ĐK bài toán đã cho là [TEX]a+b+c\leq1[/TEX]thì ta được kết quả là [TEX]\sqrt[]{\frac{29}{2}}[/TEX]

 

[lethiquynhhien]

BĐT Mincovski là hệ quả của BĐT Bunyacovski. Dạng tổng quát:

[TEX]\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2+...+b_n^2} \geq \sqrt{(a_1+a_2+a_3+...a_n)^2+(b_1+b_2+b_3+...b_n)^2}[/TEX]

Thông dụng nhất là dạng với 3 cặp số:

[TEX]\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2} \geq \sqrt{(a_1+a_2+a_3)^2+(b_1+b_2+b_3)^2}[/TEX]

Do là hệ quả của Bunyacovski, nên dấu bằng của nó cũng tương tự, đạt được khi [TEX]\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}[/TEX]

Việc chứng minh BĐT này các bạn có thể dùng chính Bunyacovski hoặc dùng phương pháp hình học vector.

hình như cái BDT mincopski của bạn bị sai rồi !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[giangln.thanglong11a6]

hình như cái BDT mincopski của bạn bị sai rồi !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Chưa tìm ra lỗi sai mà cứ nói bừa à ​

. .

 

[sieunhangiay1]

Dặt biểu thức đã cho là A
Áp dụng BDT Mincopski ta được:
[TEX]A\geq\sqrt[]{(a+b+c)^2+(\frac{1}{\sqrt[]{a+b}}+\frac{1}{\sqrt[]{b+c}}+\frac{1}{\sqrt[]{c+a}}})^2\geq\sqrt[]{(a+b+c)^2+\frac{81}{(\sqrt[]{a+b}+\sqrt[]{b+c}+\sqrt[]{c+a})^2}}\geq\sqrt[]{(a+b+c)^2+\frac{27}{2(a+b+c)}}[/TEX]
Tiếp theo bạn chỉ cần tách ra rồi sử dụng BDT AM-GM cho 3 số là được

AM-GM là cái gì hở em.trong SGK chỉ có cô si.vào phòng thi em tương chữ này vào chác điểm tuyệt đốimatats.|/@-):|

 

[khanhtm]

AM-GM là cái gì hở em.trong SGK chỉ có cô si.vào phòng thi em tương chữ này vào chác điểm tuyệt đốimatats.|/@-):|

anh hãy thi thử cuộc thi IMO và ghi là "BDT cô si" xem người ta có cho điểm ko
p/s: từ nay ko học đc toán nữa rồi ) vào chuyên tin

 

[vodichhocmai]

BĐT Mincovski là hệ quả của BĐT Bunyacovski. Dạng tổng quát:

[TEX]\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2+...+b_n^2} \geq \sqrt{(a_1+a_2+a_3+...a_n)^2+(b_1+b_2+b_3+...b_n)^2}[/TEX]

Thông dụng nhất là dạng với 3 cặp số:

[TEX]\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2} \geq \sqrt{(a_1+a_2+a_3)^2+(b_1+b_2+b_3)^2}[/TEX]

Do là hệ quả của Bunyacovski, nên dấu bằng của nó cũng tương tự, đạt được khi [TEX]\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}[/TEX]

Việc chứng minh BĐT này các bạn có thể dùng chính Bunyacovski hoặc dùng phương pháp hình học vector.

Cái nầy là cái gì đây

 

[lethiquynhhien]

Chưa tìm ra lỗi sai mà cứ nói bừa à

. .

Tớ chắc chắn bạn sai rồi đó
theo như tớ được biết phải là [TEX](a_1+b_1+...)^2+(a_2+b_2+...)^2+...[/TEX]chứ khong phải là[TEX](a_1+a_2+...)^2+(b_1+b_2+...)^2+...[/TEX] như bạn viết

 

[vodichhocmai]

[TEX]\sum_{i=1}^n\sqrt{a_i^2+b_i^2}\ge \sqrt{$a_1+a_2+...+a_n$^2+$b_1+b_2+...+b_n$^2}[/TEX]

 

[giangln.thanglong11a6]

Thôi chết, xin lỗi, lâu không học BĐT nên nhớ nhầm Cảm ơn.