Bất đẳng thức

[voquocanhbadao@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) cho a≥b, b≥c, c≥0 .chứng minh a+b+c≥ √ab +√bc +√ac. Dấu ''='' xảy ra khi nào


2)Nếu a,b,c>0 và a+b+c=1 thì a) √(a+1) + √(b+1) + √(c+1) <3,5
b) √(a+2) + √(b+2) + √(c+2) <5

 

[thangvegeta1604]

1) Áp dụng bđt AM-GM: a+b\geq $2\sqrt{ab}$.
Tương tự: b+c\geq $2\sqrt{bc}$ và a+c\geq $2\sqrt{ac}$.
Do đó: (a+b)+(b+c)+(c+a)\geq $2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}$.
\Rightarrow 2(a+b+c)\geq $2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}$.
\Rightarrow a+b+c\geq $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}$.
Dấu ''='' xảy ra\Leftrightarrow a=b=c.

 

[thangvegeta1604]

2) a. Áp dụng bđt AM-GM cho 2 số không âm a+1 và 1, ta được:
$\dfrac{a+1+1}{2}$\geq $\sqrt{(a+1).1}$.
\Rightarrow $\sqrt{a+1}$\leq $\dfrac{a+2}{2}$.
Tương tự: $\sqrt{b+1}$\leq $\dfrac{b+2}{2}$ và $\sqrt{c+1}$\leq $\dfrac{c+2}{2}$.
Do đó: $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}$\leq $\dfrac{a+b+c+6}{2}=\dfrac{7}{2}=3,5$.

Mà a,b,c>0 nên a+1>1, b+1>1 và c+1>1. Do đó dấu ''='' không thể xảy ra.

Vậy $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}$< 3,5.
Câu b tương tự.