Bất Đẳng Thức

[steelheart1809]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mấy bác cho em hỏi cái này:
Cho các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=6$
CMR:
$\frac{a}{b^2+2}+\frac{b}{c^2+2}+\frac{c}{a^2+2}$ \geq$1$
Liệu cái bđt trên có đúng ko ak, vì e đang mắc chỗ này mà ko rõ bđt trên có đúng ko. Nếu đúng thì giúp e phát

 

[eye_smile]

BĐT \Leftrightarrow $\dfrac{2a}{b^2+2}+\dfrac{2b}{c^2+2}+\dfrac{2c}{a^2+2} \ge 2$

Ta có: $\dfrac{2a}{b^2+2}=\dfrac{a(b^2+2)-ab^2}{b^2+2}=a-\dfrac{ab^2}{b^2+2}$

$b^2+2=\dfrac{b^2}{2}+\dfrac{b^2}{2}+2\ge 3b\sqrt[3]{\dfrac{b}{2}}$

\Rightarrow $\dfrac{ab^2}{b^2+2}\le \dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}.a\sqrt[3]{b^2}$

\Rightarrow $\sum \dfrac{2a}{b^2+2} \ge \sum a-\dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}.\sum a\sqrt[3]{b^2}$

Mà $\sum a\sqrt[3]{b^2}\le \sum \dfrac{a}{\sqrt[3]{2}}.\dfrac{2b+2}{3}$

\Rightarrow $\sum \dfrac{2a}{b^2+2} \ge \sum a-\dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}.\sum \dfrac{a}{\sqrt[3]{2}}.\dfrac{2b+2}{3}=\sum a-\dfrac{2}{9}(\sum a+\sum ab)=\dfrac{7}{9}\sum a-\dfrac{2}{9}\sum ab\ge 2$

\Rightarrow đpcm

p.s:Loằng ngoằng quá nên không biết có sai chỗ nào không(