Bất đẳng thức

[thanghehe69]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Cho x,y,z dương thoả mãn x+y+z=3. Tìm GTNN của biểu thức:

[TEX]P=\frac{x^2}{y^2+1}+\frac{y^2}{z^2+1}+\frac{z^2}{x^2+1}[/TEX]

2, Cho x,y,z dương thoả mãn [TEX]xy+yz+zx\leq3xyz[/TEX]. Tìm GTNN của biểu thức :

[TEX]P=\frac{x^4y}{2x+y}+\frac{y^4z}{2y+z}+\frac{z^4x}{2z+x}[/TEX]

 

[viethoang1999]

1)

$VT=\dfrac{a^2}{b^2+1}=\dfrac{a^4}{a^2b^2+a^2}$ \geq $\dfrac{\left ( \sum a^2 \right )^2}{\sum a^2b^2+\sum a^2}$
Ta sẽ chứng minh:
$\dfrac{\left ( \sum a^2 \right )^2}{\sum a^2b^2+\sum a^2}$ \geq $\frac{3}{2}$
\Leftrightarrow $2\left ( \sum a^4 \right )+\sum a^2b^2$ \geq $3\sum a^2$
Áp dụng bđt Cô si ta có:
$a^4+a^2b^2$ \geq $2a^3b$
$a^4+a^2c^2$ \geq $2a^3c$
$b^4+b^2c^2$ \geq $2b^3c$
$b^4+b^2a^2$ \geq $2b^3a$
$c^4+c^2a^2$ \geq $2c^3a$
$c^4+b^2c^2$ \geq $2c^3b$
\Rightarrow $\sum a^4+\sum a^2b^2$ \geq $ab^3+bc^3+ca^3+ba^3+cb^3+ac^3$
Ta có: $a^4-a^3-a+1=(a-1)^2(a^2+a+1)$ \geq $0$

Tương tự cộng theo vế ta có: $\sum a^4$ \geq $\sum a^3+\sum a-3=\sum a^3$
\Rightarrow $2\sum a^4+\sum a^2b^2$ \geq $(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)$
(Do $a^4+b^4+c^4$ \geq $a^3+b^3+c^3$)
Ta có: $a^3-a^2-a+1=(a-1)^2(a+1)$ \geq $0$
\Rightarrow $\sum a^3$ \geq $\sum a^2+\sum a-3=\sum a^2$
\Rightarrow $2\sum a^4+\sum a^2b^2$ \geq $3\sum a^2$
(Do $a^3+b^3+c^3 \ge a^2+b^2+c^2$)
\Rightarrow $2\left ( a^4+b^4+c^4 \right )+\sum a^2b^2 \ge 3(a^2+b^2+c^2)$ (đpcm)

\ge chứ không phải geq mà


“Bài dự thi event box toán 10”

 

[forum_]

BTC:

Đúng, +2 đ

==> Cảm ơn bạn đã tham gia event

P/s: ẩn x,y,z mà bạn lại làm a,b,c

 

[viethoang1999]

$2)$
$xy+yz+zx\le 3xyz$ \Leftrightarrow $\sum \dfrac{1}{x}\le 3$
Đặt $\dfrac{1}{x}=a;\dfrac{1}{y}=b;\dfrac{1}{z}=c$
\Rightarrow $a+b+c\le 3$

Vậy
$P=\sum \dfrac{x^4y}{2x+y}=\dfrac{x^3}{2b+a}=\sum \dfrac{1}{a^3(2b+a)}$
$=\sum \dfrac{\dfrac{1}{a^2}}{a(2b+a)}$
Áp dụng liên tiếp BĐT Cauchy Schwarz ta có:
$P\ge \dfrac{\left ( \sum \dfrac{1}{a} \right )^2 }{2\sum ab+\sum a^2}\ge \dfrac{81}{(a+b+c)^4}\ge 1$

Dấu $"="$ xảy ra khi: $x=y=z=1$

"Bài dự thi event box toán 10"

 

[forum_]

BTC:

Đúng , +2đ

==============================================