$(a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) \le 10$
$\leftrightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} \le 7$
Theo đề bài: $1 \le a;b;c \le 2$
Không giảm tính tổng quát giả sử : $1 \le a \le b \le c \le 2$
$\rightarrow (a - b)(b - c) \ge 0$
$\leftrightarrow ab - ac - b^2 + bc \ge 0 \rightarrow ab + bc \ge ac + b^2$ (1)
Chia cả hai vế của (1) cho $ab > 0$ có: $1 + \dfrac{c}{a} \ge \dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{a}$ (2)
Chia cả hai vế của (1) cho $bc > 0$ có: $1 + \dfrac{a}{c} \ge \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c}$ (3)
Cộng theo vế (2) và (3) có :
$\dfrac{b}{c} + \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} \le 2 + \dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a}$
$\leftrightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} \le 2 + 2(\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a})$
Có : $1 \le a \le c \le 2$
$\rightarrow 1 \le \dfrac{c}{a} \le 2$
$\rightarrow \dfrac{c}{a} - 2 \le 0; \dfrac{c}{a} - \dfrac{1}{2} \ge 0$
$\rightarrow (\dfrac{c}{a} - \dfrac{1}{2})(\dfrac{c}{a} - 2) \le 0$
$\leftrightarrow (\dfrac{c}{a})^2 - \dfrac{5}{2}. \dfrac{c}{a} + 1 \le 0$
$\leftrightarrow (\dfrac{c}{a})^2 + 1 \le \dfrac{5}{2}. \dfrac{c}{a}$
$\leftrightarrow \dfrac{c}{a} + \dfrac{a}{c} \le \dfrac{5}{2}$
$\leftrightarrow (a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) \le 3 + 2 + 2.\dfrac{5}{2} = 10$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{c}{a} = 2 \rightarrow c = 2; a =1; b = 1$ hoặc $b = 2$ hay $(a;b;c) = (1;1;2),(1;2;2)$ và các hoán vị.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
