Bất Đẳng Thức???

[phannhungockhanh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a.b.c=1
chứng minh rằng:

[TEX]\frac{a}sqrt{a+1}+\frac{b}sqrt{b+1}+\frac{c}sqrt{c+1}\geq\frac{3.sqrt{2}}2[/TEX]



Thanks very much!

 

[vansang02121998]

$\dfrac{a}{\sqrt{a+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b+1}}+$$\dfrac{c}{\sqrt{c+1}} \ge \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

Đặt $a=\dfrac{x^2}{yz},b=\dfrac{y^2}{zx},c=\dfrac{z^2}{xy}$ ( $x;y;z > 0$ ), bất đẳng thức tương đương

$\dfrac{x^2}{\sqrt{yz}\sqrt{x^2+yz}}+$$\dfrac{y^2}{\sqrt{zx}{y^2+zx}}$$+\dfrac{z^2}{\sqrt{xy}\sqrt{z^2+xy}} \ge \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

Ta có $\dfrac{x^2}{\sqrt{yz}\sqrt{x^2+yz}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{zx}\sqrt{y^2+zx}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{xy}\sqrt{z^2+xy}} \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{\sqrt{yz}\sqrt{x^2+yz}+\sqrt{zx}\sqrt{y^2+zx}+\sqrt{xy}\sqrt{z^2+xy}} \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{\sqrt{xy+yz+zx}\sqrt{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}}$

Ta cần chứng minh $\dfrac{(x+y+z)^2}{\sqrt{xy+yz+zx}\sqrt{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}} \ge \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow 2(x+y+z)^4 \ge 9(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz)$

$\Leftrightarrow (x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)(2x^2+2y^2+2z^2+xy+xz+yz) \ge 0$ ( đúng )

 

[thinhrost1]

Đặt $(a,b,c)=(\dfrac{x}{y},...)$
khi đó $vt=\sum\dfrac{x^2}{x\sqrt{y(x+y)}}\ge \dfrac{(x+y+z)^2}{\sum x\sqrt{y(x+y)}}$
mẫu $\le \sqrt{xy+yz+xz)(\sum x^2+\sum xy)}$ (áp dụng bunhia)
đến đây nhân căn 2 cho tử và mẫu rồi côsi ngược cho mẫu là ra