Bất đẳng thức !!!

[kid57_1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực dương . Chứng minh rẳng :

$$\frac{(b+c-a)^2}{ (b+c)^2 + a^2} + \frac{(c+a-b)^2}{(c+a)^2 + b^2} +\frac{(a+b-c)^2}{(a+b)^2 +c^2} \geq \frac{3}{5}$$

 

[nednobita]

$\frac{{(b+c-a)}^2}{{(b+c)}^{2}+{a}^{2}}+\frac{{(c+a-b)}^2}{{(c+a)}^{2}+{b}^{2}}+\frac{{(b+a-c)}^2}{{(b+a)}^{2}+{c}^{2}}$
=3+$\frac{-2a(b+c)}{{(b+c)}^{2}+{a}^{2}}+\frac{-2(a+c)b}{{(c+a)}^{2}+{b}^{2}}+\frac{-2(a+b)c}{{(b+a)}^{2}+{c}^{2}}$
áp dụng cosi cho 3 số ko âm ta được
thì cả cái này $\frac{-2a(b+c)}{{(b+c)}^{2}+{a}^{2}}+\frac{-2(a+c)b}{{(c+a)}^{2}+{b}^{2}}+\frac{-2(a+b)c}{{(b+a)}^{2}+{c}^{2}}$ \geq $\frac{-12}{5}$
với mọi a=b=c >0
\Rightarrow$\frac{{(b+c-a)}^2}{{(b+c)}^{2}+{a}^{2}}+\frac{{(c+a-b)}^2}{{(c+a)}^{2}+{b}^{2}}+\frac{{(b+a-c)}^2}{{(b+a)}^{2}+{c}^{2}}$\geq $\frac{3}{5}$

 

[vuive_yeudoi]

Cho a,b,c là các số thực dương . Chứng minh rẳng :

(b+c-a)^2 / ( (b+c)^2 + a^2 ) +(c+a-b)^2 /( (c+a)^2 + b^2 )+(a+b-c)^2 /((a+b)^2 +c^2)
> hoặc = 3/5

Trong điều kiện đề bài , bất đẳng thức lúc nào cũng đúng bởi vì
$$-\frac{3}{5}+ \sum \frac{(b+c-a)^2}{a^2+(b+c)^2} =\frac{2}{25}.\sum \frac{(7a+b+c)(2a-b-c)^2}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2bc)} \ge 0$$

 

[thanghekhoc]

thắc mắc

$\frac{{(b+c-a)}^2}{{(b+c)}^{2}+{a}^{2}}+\frac{{(c+a-b)}^2}{{(c+a)}^{2}+{b}^{2}}+\frac{{(b+a-c)}^2}{{(b+a)}^{2}+{c}^{2}}$
=3+$\frac{-2a(b+c)}{{(b+c)}^{2}+{a}^{2}}+\frac{-2(a+c)b}{{(c+a)}^{2}+{b}^{2}}+\frac{-2(a+b)c}{{(b+a)}^{2}+{c}^{2}}$
áp dụng cosi cho 3 số ko âm ta được
thì cả cái này $\frac{-2a(b+c)}{{(b+c)}^{2}+{a}^{2}}+\frac{-2(a+c)b}{{(c+a)}^{2}+{b}^{2}}+\frac{-2(a+b)c}{{(b+a)}^{2}+{c}^{2}}$ \geq $\frac{-12}{5}$
với mọi a=b=c >0
\Rightarrow$\frac{{(b+c-a)}^2}{{(b+c)}^{2}+{a}^{2}}+\frac{{(c+a-b)}^2}{{(c+a)}^{2}+{b}^{2}}+\frac{{(b+a-c)}^2}{{(b+a)}^{2}+{c}^{2}}$\geq $\frac{3}{5}$

có vẻ như bạn sử dụng bất đẳng thức AM - GM không ổn cho lắm như có lỗi sai thì phải

 

[nednobita]

có vẻ như bạn sử dụng bất đẳng thức AM - GM không ổn cho lắm như có lỗi sai thì phải

cái này chuẩn rồi chác bạn tính sai đâu đó

 

[kid57_1999]

Thắc mắc

Anh giải cụ thể phần bất đẳng thức cô si cho 3 số dương có được không ? Em không hiểu cho lắm !!!!

 

[nednobita]

Anh giải cụ thể phần bất đẳng thức cô si cho 3 số dương có được không ? Em không hiểu cho lắm !!!!

$x+y+z$ \geq $3\sqrt[3]{xyz}$ dấu bằng xảy ra x=y=z|||
còn trường hợp ở trên làm y như cách này nhưng còn các ẩn mình cũng làm dấu bằng xảy ra và giải thì a=b=c |||

 

[noinhobinhyen_nb]

giả sử a+b+c=3. phân số 1 thay b+c=3-a

... tương tự rồi dùng pp tiếp tuyến ý ra luôn

 

[vuive_yeudoi]

Trong điều kiện đề bài , bất đẳng thức lúc nào cũng đúng bởi vì
$$-\frac{3}{5}+ \sum \frac{(b+c-a)^2}{a^2+(b+c)^2} =\frac{2}{25}.\sum \frac{(7a+b+c)(2a-b-c)^2}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2bc)} \ge 0$$

giả sử a+b+c=3. phân số 1 thay b+c=3-a

... tương tự rồi dùng pp tiếp tuyến ý ra luôn

1/ Cái đẳng thức trên anh viết , thiệt ra cũng từ cái " pp tiếp tuyến " mà ra đó em

Cụ thể thay vì chuẩn hóa thành $\displaystyle a+b+c=1$ thì anh cho $\displaystyle a+b+c=3k >0$ , rồi coi thử coi bất đẳng thức sau có đúng trong điều kiện bài toán không ?
$$\frac{(3k-2a)^2}{a^2+(3k-a)^2} \ge \frac{-18}{25k}(a-k)+\frac{1}{5}$$
Có
$$\frac{(3k-2a)^2}{a^2+(3k-a)^2} + \frac{18}{25k}(a-k)-\frac{1}{5}=\frac{18(2a+k)(a-k)^2}{25k(a^2+(3k-a)^2)} \ge 0$$
Để ý là
$$\sum \left( \frac{18}{25k}(a-k) \right) =\sum \left( \frac{18a}{25k}-\frac{18}{25} \right)=\frac{18(a+b+c)}{25k}-\frac{18.3}{25}=0$$
Vậy nên
$$\sum \frac{(3k-2a)^2}{a^2+(3k-a)^2} = \frac{3}{5}+ \sum \frac{18(2a+k)(a-k)^2}{25k(a^2+(3k-a)^2)} \ge \frac{3}{5}$$
Hay
$$\sum \frac{(b+c-a)^2}{a^2+(b+c)^2} =\frac{3}{5}+ \frac{2}{25}.\sum \frac{(7a+b+c)(2a-b-c)^2}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2bc)} \ge \frac{3}{5}$$
2/ Có một lời giải như vầy ..

$$25\left(a^2 + b^2 + c^2\right)(b + c - a)^2 - \left[a^2 + (b + c)^2\right]\left(7a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 40bc -20ca- 20ab\right)$$
$$= \frac {(b + c - 2a)^2(b + c -3a)^2}{2} + \frac {(b - c)^2}{2}\left[41a^2 - 50a(b + c) +41(b + c)^2\right] \ge 0$$
Suy ra
$$\sum \frac {(b + c -a)^2}{a^2 + (b + c)^2} \ge \sum \frac {7a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 40bc - 20ca - 20ab}{25\left(a^2 + b^2 + c^2\right)} = \frac {3}{5}$$
Lời giải đó cho thấy bất đẳng thức đề bài đúng với mọi số thực $\displaystyle a,b,c \ \text{thỏa} \ a^2+b^2+c^2 >0$

3/ Với các số thực dương $\displaystyle a,b,c$ thì bất đẳng thức mạnh hơn sau đây cũng đúng
$$\sum \frac {(b + c -a)^2}{a^2 + (b + c)^2} \ge \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{5(a+b+c)^2} \ge \frac{3}{5}$$