Bất đẳng thức

[thanhdongtoanhoc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chứng minh rằng nếu pt [TEX]x^4+ax^3+bx^2+ax+1[/TEX]=0 có nghiệm thì [TEX]a^2+(b-2)^2[/TEX]>3

 

[vuive_yeudoi]

Giả sử $s$ là nghiệm của phương trình .

Do $s=0$ không phải là nghiệm của phương trình nên chỉ xét $s \neq 0$ .

Có :
$$ s^4+as^3+bs^2+as+1=0 $$
Chia hai vế của phương trình trên cho $s^2$ thu được :
$$ \left(s^2+\frac{1}{s^2}\right) +a \left( s+\frac{1}{s} \right)+b=0 $$
Đặt :
$$ t=s+\frac{1}{s} $$
Suy ra :
$$ t^2=s^2+\frac{1}{s^2}+2 \ge 4 $$
Phương trình đề bài trở thành :
$$ t^2+at+b-2=0 $$
Dùng bất đẳng thức Cauchy Schwarz có :
$$ \left( a^2+(b-2)^2 \right) \left( t^2 +1^2 \right) \ge (at+(b-2))^2=t^4 $$
Suy ra :
$$ a^2+(b-2)^2 \ge \frac{t^4}{t^2+1}=\frac{(5t^2+4)(t^2-4)}{5(t^2+1)}+\frac{16}{5} \ge \frac{16}{5} > 3 $$