bất đẳng thức

[tiendung_1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.|a+b+c| \leq |a| + |b| + |c|
2.|a+b| < |1+ab|
3. $\dfrac{a+b+c}{3\sqrt{3}}$ \geq $\dfrac{ab+bc+ca}{\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}}$
4.$\dfrac{1}{3}$ \leq $\dfrac{a^2-2a+4}{a^2+2a+4}$ \leq 3
5.$a^4+b^4+c^4$ \geq $abc(a+b+c)$

 

[nguyenbahiep1]

1.|a+b+c| \leq |a| + |b| + |c|

áp dụng công thức bất đẳng thức trị tuyệt đối

[laTEX]|a|+|b| \geq |a+b| \geq a+b \Rightarrow |a|+|b|+|c| \geq |c+|a|+|b|| \geq |a+b+c|[/laTEX]

 

[vipboycodon]

5.$a^4+b^4+c^4 \ge abc(a+b+c)$
*Áp dụng bđt cô-si ta có:
$a^4+b^4 \ge 2\sqrt{a^4b^4}$
<=> $a^4+b^4 \ge 2\sqrt{(a^2b^2)^2}$
<=> $a^4+b^4 \ge 2a^2b^2$
tương tự ta có:
$a^4+c^4 \ge 2a^2c^2$
$b^4+c^4 \ge 2b^2c^2$
Cộng vế với vế ta có:
$2(a^4+b^4+c^4) \ge 2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)$
<=> $a^4+b^4+c^4 \ge a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2$ (1)
*Ta lại có:
$a^2b^2+b^2c^2 \ge 2\sqrt{a^2b^4c^2}$
<=> $a^2b^2+b^2c^2 \ge 2ab^2c$
tương tự ta có:
$a^2b^2+a^2c^2 \ge 2a^2bc$
$b^2c^2+a^2c^2 \ge 2abc^2$
Cộng vế với vế ta có:
$2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2) \ge 2(a^2bc+ab^2c+abc^2)$
<=> $a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2 \ge a^2bc+ab^2c+abc^2$
<=> $a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2 \ge abc(a+b+c)$ (2)
* từ (1) , (2) => $a^4+b^4+c^4 \ge abc(a+b+c)$ (đpcm)

 

[congchuaanhsang]

5.$a^4+b^4+c^4 \ge abc(a+b+c)$
*Áp dụng bđt cô-si ta có:
$a^4+b^4 \ge 2\sqrt{a^4b^4}$
<=> $a^4+b^4 \ge 2\sqrt{(a^2b^2)^2}$
<=> $a^4+b^4 \ge 2a^2b^2$
tương tự ta có:
$a^4+c^4 \ge 2a^2c^2$
$b^4+c^4 \ge 2b^2c^2$
Cộng vế với vế ta có:
$2(a^4+b^4+c^4) \ge 2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)$
<=> $a^4+b^4+c^4 \ge a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2$ (1)
*Ta lại có:
$a^2b^2+b^2c^2 \ge 2\sqrt{a^2b^4c^2}$
<=> $a^2b^2+b^2c^2 \ge 2ab^2c$
tương tự ta có:
$a^2b^2+a^2c^2 \ge 2a^2bc$
$b^2c^2+a^2c^2 \ge 2abc^2$
Cộng vế với vế ta có:
$2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2) \ge 2(a^2bc+ab^2c+abc^2)$
<=> $a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2 \ge a^2bc+ab^2c+abc^2$
<=> $a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2 \ge abc(a+b+c)$ (2)
* từ (1) , (2) => $a^4+b^4+c^4 \ge abc(a+b+c)$ (đpcm)

Có thể làm gọn hơn:
Áp dụng 2 lần liên tiếp BĐT quen thuộc $x^2+y^2+z^2$\geqxy+yz+xz ta có:
$a^4+b^4+c^4$\geq$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$\geq$ab^2c+bc^2a+ca^2b$=$abc(a+b+c)$

 

[congchuaanhsang]

Đặt $\dfrac{a^2-2a+4}{a^2+2a+4}$=x

\Leftrightarrow$a^2-2a+4$=$xa^2+2xa+4x$\Leftrightarrow$(1-x)a^2-(2+2x)a+4-4x$=0

$\Delta$=$(2+2x)^2-16(1-x)^2$=$-12x^2+40x-12$\geq0

\Leftrightarrow$(x-3)(3x-1)$\leq0 \Leftrightarrow $\dfrac{1}{3}$\leqx\leq3 (ngoài đồng trong khác)

 

[congchuaanhsang]

3, Ta có:

$\sqrt{a^2+ab+b^2}$=$\sqrt{ \dfrac{3}{4}(a+b)^2+\dfrac{1}{4}(a-b)^2 }$

\geq$\sqrt{ \dfrac{3}{4}(a+b)^2 }$=$\dfrac{\sqrt{3}(a+b)}{2}$

Tương tự $\sqrt{b^2+bc+c^2}$\geq$\dfrac{\sqrt{3}(b+c)}{2}$

$\sqrt{c^2+ca+a^2}$ \geq $\dfrac{\sqrt{3}(c+a)}{2}$

\Rightarrow$\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}$\geq$\sqrt{3}(a+b+c)$ (1)

Mặt khác $ab+bc+ca$\leq$\dfrac{(a+b+c)^2}{3}$

\RightarrowVP\leq$\dfrac{ \dfrac{(a+b+c)^2}{3} }{\sqrt{3}(a+b+c)}$=$\dfrac{a+b+c}{3\sqrt{3}}$=VT

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a=b=c