Bất đẳng thức

C

congchuaanhsang

Áp dụng BĐT Bunhia ta có:
$(x^3+y^3)^2$=$(\sqrt{x}.\sqrt{x^5}+\sqrt{y}.\sqrt{y^5})^2$\leq[$(\sqrt{x})^2$+$(\sqrt{y})^2$][$(\sqrt{x^5})^2+(\sqrt{y^5})^2$]
\Leftrightarrow$(x^3+y^3)^2$\leq(x+y)($x^5$+$y^5$)
\Leftrightarrow$\frac{x^3+y^3}{x+y}$\leq$\frac{x^5+y^5}{x^3+y^3}$ (1)
Mặt khác $x^5$+$y^5$=$x^3$+$y^3$\Leftrightarrow$\frac{x^5+y^5}{x^3+y^3}$=1 (2)
Từ (1) và (2)\Rightarrow$\frac{x^3+y^3}{x+y}$\leq1
\Leftrightarrow$x^3$+$y^3$\leqx+y \Leftrightarrow (x+y)($x^2$-xy+$y^2$)\leqx+y
Vì x,y dương nên x+y dương
Chia cả hai vế cho số dương x+y ta đk
$x^2$-xy+$y^2$\leq1\Leftrightarrow$x^2$+$y^2$\leq1+xy
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow x=y=1
 
K

kinyumi_123

cho xyzt=1 CMR $\dfrac{1}{x^3(xz+zt+ty)} + \dfrac{1}{y^3(xz+zt+tx)} + \dfrac{1}{z^3(yx+xt+ty)} + \dfrac{1}{t^3(yz+zx+xy)} \geq \dfrac{4}{3}$
giải theo cauchy dùm mình nha^^
 
Last edited by a moderator:
C

congchuaanhsang

Mình nghĩ bạn nhầm đề rồi! Ở phân số đầu tiên thì mẫu số phải là $x^3$(yz+zt+yt)!
Và cần có thêm điều kiện là x,y,z,t dương nữa chứ!
Nếu đề bài là vậy thì lời giải như sau:
Gọi A là vế trái của bất đẳng thức.
Ta có xyzt=1\Leftrightarrow$x^2y^2z^2t^2$=1
A=$\frac{x^2y^2z^2t^2}{x^3(yz+zt+yt)}$+$\frac{x^2y^2z^2t^2}{y^3(xz+zt+tx)}$+$\frac{x^2y^2z^2t^2}{z^3(xy+xt+ty)}$ + $\frac{x^2y^2z^2t^2}{t^3(yz+zx+xy)}$
A=$\frac{y^2z^2t^2}{x(yz+zt+yt)}$+$\frac{x^2z^2t^2}{y(xz+zt+tx)}$+$\frac{x^2y^2t^2}{z(xy+xt+ty)}$ + $\frac{x^2y^2z^2}{t(yz+zx+xy)}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta được:
A\geq$\frac{(xyz+yzt+xzt+xyt)^2}{x(yz+zt+yt)+y(xz+zt+tx)+z(xy+xt+ty)+t(yz+zx+xy)}$
\LeftrightarrowA\geq$\frac{(xyz+yzt+xzt+xyt)^2}{3(xyz+yzt+xzt+xyt)}$
\LeftrightarrowA\geq$\frac{xyz+yzt+xzt+xyt}{3}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
xyz+yzt+xzt+xyt\geq4$\sqrt[4]{x^3y^3z^3t^3}$=4$\sqrt[4]{1}$=4
Do đó A\geq$\frac{xyz+yzt+xzt+xyt}{3}$\geq$\frac{4}{3}$
Dấu "=" xảy ra\Leftrightarrowx=y=z=t=1
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom