bất đẳng thức

[sytuoi123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a, b ,c là 3 số dương thỏa mãn : a+b+c=4
chứng minh : (a+b)(b+c)(c+a)\geq (abc)^3

 

[conga222222]

cho a, b ,c là 3 số dương thỏa mãn : a+b+c=4
chứng minh : (a+b)(b+c)(c+a)\geq (abc)^3

[TEX]\[\begin{array}{l} \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge {(abc)^3}\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ac}}} \right)\left( {\frac{1}{{ac}} + \frac{1}{{ab}}} \right)\left( {\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}}} \right) \ge 1\\ VT \ge \frac{{2*2*2}}{{\sqrt {ab{c^2}} *\sqrt {{a^2}bc} *\sqrt {a{b^2}c} }} = \frac{8}{{{{\left( {abc} \right)}^2}}}\\ theode:\\ 4 = a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\\ \to {\left( {abc} \right)^2} \le {\left( {\frac{4}{3}} \right)^6}\\ \to VT \ge \frac{8}{{{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^6}}} = \frac{{729}}{{512}} > 1 \end{array}\][/TEX]

 

[congchuaanhsang]

Bất đẳng thức này loại dấu "="

Làm như vipboy đến trước chỗ dấu "="

Dấu "=" xảy ra khi đồng thời c=a+b=2a ; a=b+c=2b ; c=a+c=2c

Rõ ràng vô lý

Vậy $(a+b)(b+c)(c+a)$>$(abc)^3$
À , đúng rồi.

 

[vipboycodon]

Theo bdt cauchy ta có :
$[(a+b)+c]^2 \ge 4(a+b)c$
<=> $16 \ge 4(a+b)c$
<=> $16(a+b) \ge 4(a+b)^2c$
<=> $16(a+b) \ge 16abc$ (vì $(a+b)^2 \ge 4ab)$
<=> $a+b \ge abc$
Tương tự với 2 cái kia , nhân lại ta được đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = 1$ , $c = 2$.