Ta có các phân tích cơ sở sau:
$$+)(a+b+c)^3-27abc=a^3+b^3+c^3+3\sum ab(a+b)+6abc-27abc\\ =(a^3+b^3+c^3-3abc)+3[\sum ab(a+b)-6abc]\\= \dfrac{1}{2}(a+b+c).\sum(a-b)^2+\sum c(a-b)^2\\ =\sum \dfrac{a+b+3c}{2}(a-b)^2$$
$$+) (\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2})^2-1= (\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}-1)(\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+1)\\ =-\dfrac{\dfrac{1}{2}(a-b)^2}{a^2+b^2+c^2}.\dfrac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\\ =-\sum \left[\dfrac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{2(a^2+b^2+c^2)^2}(a-b)^2\right]$$
Từ các phân tích trên ta có:
$$bdt\Leftrightarrow \dfrac{(a+b+c)^3}{abc}-27+9\left[(\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2})^2-1\right]\ge 0\\ \Leftrightarrow\sum \dfrac{a+b+3c}{2abc}(a-b)^2-\sum \left[\dfrac{9(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{2(a^2+b^2+c^2)^2}(a-b)^2\right] \ge 0$$
$$ \Leftrightarrow \sum [\dfrac{a+b+3c}{2abc}-\dfrac{9(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{2(a^2+b^2+c^2)^2}](a-b)^2\ge 0\\ \Leftrightarrow \sum [\dfrac{a+b+3c}{abc}-\dfrac{9(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a^2+b^2+c^2)^2}](a-b)^2\ge 0$$
Đã đưa về dạng chính tắc S.O.S
Dễ thấy $\dfrac{9(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a^2+b^2+c^2)^2} \le \dfrac{18}{a^2+b^2+c^2}$ nên ta chỉ cần c/m:
$$\sum \left[\dfrac{a+b+3c}{abc}-\dfrac{18}{a^2+b^2+c^2}\right](a-b)^2\ge 0$$
Mình thấy nó cũng gọn gọn rồi, bạn thử làm tiếp nhé !
Ta có các phân tích cơ sở sau:
$$+)(a+b+c)^3-27abc=a^3+b^3+c^3+3\sum ab(a+b)+6abc-27abc\\ =(a^3+b^3+c^3-3abc)+3[\sum ab(a+b)-6abc]\\= \dfrac{1}{2}(a+b+c).\sum(a-b)^2+\sum c(a-b)^2\\ =\sum \dfrac{a+b+3c}{2}(a-b)^2$$
Dễ thấy $\dfrac{9(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a^2+b^2+c^2)^2} \le \dfrac{18}{a^2+b^2+c^2}$ nên ta chỉ cần c/m:
$$\sum \left[\dfrac{a+b+3c}{abc}-\dfrac{18}{a^2+b^2+c^2}\right](a-b)^2\ge 0$$
Mình thấy nó cũng gọn gọn rồi, bạn thử làm tiếp nhé !
Nhầm hàng chút chỗ này, $3[\sum ab(a+b)-6abc]=3\sum c(a-b)^2$ mới đúng ^_^.
Vậy nên BĐT cuối phải là:
$$\sum \left[\dfrac{a+b+7c}{abc}-\dfrac{18}{a^2+b^2+c^2}\right](a-b)^2\ge 0$$
Thế này càng dễ
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
