Bất đẳng thức!

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi linhhuyenvuong, 20 Tháng tám 2012.

Lượt xem: 636

  1. Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    đã giải

    Cho a,b,c >0.
    CMR: $ \dfrac{(a+b+c)^3}{abc}+9(\dfrac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2})^2 \ge 36$
     
    Last edited by a moderator: 23 Tháng tám 2012
  2. minhtuyb

    minhtuyb Guest

    Ta có các phân tích cơ sở sau:
    $$+)(a+b+c)^3-27abc=a^3+b^3+c^3+3\sum ab(a+b)+6abc-27abc\\ =(a^3+b^3+c^3-3abc)+3[\sum ab(a+b)-6abc]\\= \dfrac{1}{2}(a+b+c).\sum(a-b)^2+\sum c(a-b)^2\\ =\sum \dfrac{a+b+3c}{2}(a-b)^2$$
    $$+) (\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2})^2-1= (\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}-1)(\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+1)\\ =-\dfrac{\dfrac{1}{2}(a-b)^2}{a^2+b^2+c^2}.\dfrac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\\ =-\sum \left[\dfrac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{2(a^2+b^2+c^2)^2}(a-b)^2\right]$$
    Từ các phân tích trên ta có:
    $$bdt\Leftrightarrow \dfrac{(a+b+c)^3}{abc}-27+9\left[(\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2})^2-1\right]\ge 0\\ \Leftrightarrow\sum \dfrac{a+b+3c}{2abc}(a-b)^2-\sum \left[\dfrac{9(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{2(a^2+b^2+c^2)^2}(a-b)^2\right] \ge 0$$
    $$ \Leftrightarrow \sum [\dfrac{a+b+3c}{2abc}-\dfrac{9(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{2(a^2+b^2+c^2)^2}](a-b)^2\ge 0\\ \Leftrightarrow \sum [\dfrac{a+b+3c}{abc}-\dfrac{9(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a^2+b^2+c^2)^2}](a-b)^2\ge 0$$

    Đã đưa về dạng chính tắc S.O.S [​IMG]

    Dễ thấy $\dfrac{9(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a^2+b^2+c^2)^2} \le \dfrac{18}{a^2+b^2+c^2}$ nên ta chỉ cần c/m:
    $$\sum \left[\dfrac{a+b+3c}{abc}-\dfrac{18}{a^2+b^2+c^2}\right](a-b)^2\ge 0$$
    Mình thấy nó cũng gọn gọn rồi, bạn thử làm tiếp nhé ![​IMG]
     
    Last edited by a moderator: 20 Tháng tám 2012
  3. minhtuyb

    minhtuyb Guest


    Nhầm hàng chút chỗ này, $3[\sum ab(a+b)-6abc]=3\sum c(a-b)^2$ mới đúng ^_^.
    Vậy nên BĐT cuối phải là:
    $$\sum \left[\dfrac{a+b+7c}{abc}-\dfrac{18}{a^2+b^2+c^2}\right](a-b)^2\ge 0$$
    Thế này càng dễ :D

     
  4. Sr nha, tui quên chú thích là chỉ dùng AM-GM va Bu-nhi-a thôi,k dùng S.O.S hay BĐT khác
    :D
    Dù sao cũng thanks
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->