bất đẳng thức

[vinh_19]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho $a,b,c$ là các số không âm thoả mãn $a+b+c=1006$. Chứng mih rằng $$\sqrt{2012a+ \frac{(b-c)^2}{2}}+ \sqrt{2012b+ \frac{(c-a)^2}{2}}+\sqrt{2012c+ \frac{(a-b)^2}{2}} \le 2012 \sqrt{2}.$$

2)Cho x,y là 2 số thực khác 0 CMR
$\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2 }+ \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} \ge 3$

3) Cho a,b,c >0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$
CMR $\sum \frac{a}{\sqrt{b}} \ge a+b+c$

Mod bboy114crew: bạn học gõ latex tại đây nhé http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=4917
Lần sau bạn nhớ đặt tiêu đề cho đúng nhé! Lần này mình sẽ cho bạn thẻ còn lần sau là bị ban nick đó
Bạn nhớ viết hoa đầu dòng nhé!

 

[bboy114crew]

1)
C1 :Chú ý rằng: [TEX]2012a+\frac{(b-c)^2}{2}=2((\frac{(b-c)}{2})^2+a(a+b+c)) [/TEX]
[TEX] \le 2((\frac{b+c}{2})^2+a^2+2.a.\frac{b+c}{2})=2(a+ \frac{b+c}{2} )^2.[/TEX]
Lập các BĐT tương tự và cộng lại ta được:
[TEX] VT \le \sqrt{2}.\sum (a+\frac{b+c}{2})=2012\sqrt{2}[/TEX] .
C2:
Ta chứng minh:
[TEX] \sqrt{4024a+(b-c)^2} \le 2a+b+c=2012-(b+c) [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{4024[1006-(b+c)]+(b-c)^2} \le 2012-(b+c) [/TEX]

Đến đây thì bình phương hai vế rồi hai triển,sau đó thu gọn thì ta phải chứng minh:
[TEX] 4bc \ge 0 [/TEX]
Điều này hiển nhiên đúng.
2)
Biến đổi tương đương là ra!

3)Ta có:
[TEX]\left(\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{c}} + \frac{c}{\sqrt{a}}\right)^2=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+2(a\sqrt{\frac{b}{c}}+ b\sqrt{\frac{c}{a}}+c\sqrt{\frac{a}{b}})[/TEX]
Áp dụng BDT AM-GM ta có:

[TEX]\frac{a^2}{b}+a\sqrt{\frac{b}{c}}+a\sqrt{\frac{b}{c}}+c \ge 4a[/TEX]
Thêm 2 cái tương tự cộng vào suy ra:

[TEX]\left(\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{c}} + \frac{c}{\sqrt{a}}\right)^2 \ge 3(a+b+c) \ge (a+b+c)^2[/TEX]
Suy ra ĐPCM

 

[minhlaai29]

Bài 2:
chú ý rằng ta có [TEX]x^2 , y^2 , (x^2 + y^2)^2[/TEX] đều dương nên ta có thể sử dụng được bđt AM-GM sau khi phân tách như sau :
[tex]\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}[/tex] [TEX]+[/TEX] [TEX]\frac{x^2}{y^2}[/TEX] [TEX]+[/TEX] [TEX]\frac{y^2}{x^2}[/TEX] [TEX]=[/TEX] ([TEX]\frac{2x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}[/TEX] [TEX]+[/TEX] [TEX]\frac{x^2}{2y^2}[/TEX] ) + ([TEX]\frac{2x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}[/TEX] [TEX]+[/TEX] [TEX]\frac{y^2}{2x^2}[/TEX] ) [TEX]+[/TEX] [TEX]\frac{1}{2}[/TEX]([TEX]\frac{x^2}{y^2}[/TEX] + [TEX]\frac{y^2}{x^2}[/TEX]) \geq [TEX]\frac{2x^2}{x^2+y^2}[/TEX] [TEX]+[/TEX] [TEX]\frac{2y^2}{x^2+y^2}[/TEX] [TEX]+[/TEX] [TEX]\frac{1}{2}[/TEX] . [TEX]2[/TEX] [TEX]=[/TEX] [TEX]2[/TEX] [TEX]+[/TEX] [TEX]1[/TEX] [TEX]=[/TEX] [TEX]3[/TEX]
(đpcm)
Chúc vui !!! \\/\\/\\/\\/