Toán 12 Bất đẳng thức

N

nerversaynever

vanpersi94 said:
Cho [tex]a,b,c[/tex] thoả [tex]:max\left\{a,b,c \right\}-min\left\{a,b,c \right\}\leq 1[/tex] .Chứng minh rằng:
[tex]1+a^{3}+b^{3}+c^{3}+6abc\geq 3a^{2}b+3b^{2}c+3c^{2}a[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Vì [TEX]{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a - {b^2}a - {c^2}b - {a^2}c = \left( {a - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)[/TEX] nên ta chỉ cần chứng minh khi [TEX]c + 1 \ge a \ge b \ge c[/TEX]
[TEX]\begin{array}{l}f\left( b \right) = 1 + {a^3} + {b^3} + {c^3} + 6abc - 3{a^2}b - 3{b^2}c - 3{c^2}a\\f'\left( b \right) = 3{b^2} + 6ac - 3{a^2} - 6bc = 3\left( {a - b} \right)\left( {2c - a - b} \right) \le 0\end{array}[/TEX]
suy ra f(b) min khi b=a
bài toán trở thành chứng minh
[TEX]1 + 2{a^3} + {c^3} + 6{a^2}c - 3{a^3} - 3{a^2}c - 3a{c^2} = 1 - {\left( {a - c} \right)^3} \ge 0[/TEX] (hiển nhiên)
dấu bằng khi a=b=c+1
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom