Toán 12 Bất đẳng thức

[vnchemistry73]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z dương thoả x+y+z=1. Tìm min:
[TEX]T = \frac{1}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} + \frac{1}{{xyz}}[/TEX]

 

[tuyn]

[TEX]T= \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+ \frac{x+y+z}{3xyz}+ \frac{2}{3xyz}=( \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+ \frac{1}{3xy}+ \frac{1}{3yz}+ \frac{1}{3zx})+ \frac{2}{3xyz}[/TEX]
[TEX] \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+ \frac{1}{3xy}+ \frac{1}{3yz}+ \frac{1}{3zx} \geq \frac{(1+1+1+1)^2}{x^2+y^2+z^2+3xy+3yz+3zx}[/TEX]
[TEX]= \frac{16}{(x+y+z)^2+(xy+yz+zx)} \geq \frac{16}{{1+ \frac{(x+y+z)^2}{3}}} = 12[/TEX]
[TEX]xyz \leq ( \frac{x+y+z}{3})^3= \frac{1}{27} \Rightarrow \frac{2}{3xyz} \geq 18[/TEX]
[TEX]\Rightarrow T \geq 30[/TEX]
Vậy [TEX]MinT=30 \Leftrightarrow x=y=z= \frac{1}{3}[/TEX]

 

[vnchemistry73]

mình có thể đánh giá biểu thức đó như sau đc ko:
[TEX]{x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^2}{z^2}}}[/TEX]
[TEX]x+ y + z \ge 3\sqrt[3]{{xyz}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2}) \ge 9{\rm{x}}yz[/TEX]