Bất đẳng thức

[valdes]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x, y là các số thực thoả mãn [TEX]x^2+xy+y^2 \leq 3[/TEX]. Chứng minh rằng

[TEX] -4\sqrt{3} -3 \leq x^2-xy-3y^2 \leq 4\sqrt{3} +3[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

Cho x, y là các số thực thoả mãn [TEX]x^2+xy+y^2 \leq 3[/TEX]. Chứng minh rằng

[TEX] -4\sqrt{3} -3 \leq x^2-xy-3y^2 \leq 4\sqrt{3} +3[/TEX]

xét [TEX]A=\frac{x^2-xy-3y^2}{x^2+xy+y^2}(x^2+y^2\not=0)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A=\frac{1-\frac{y}{x}-\frac{3y^2}{x^2}}{1+\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}}= \frac{1-t-3t^2}{1+t+t^2}\text{voi t=\frac{y}{x}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow At+A+At^2-1+t+3t^2=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (A+3)t^2+(A+1)t+(A-1)=0[/TEX]
[TEX]A\not=-3 \triangle=-3A^2-6A+13\geq 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{-3-4\sqrt3}{3}\leq A\leq \frac{-3+4\sqrt3}{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX]

 

[valdes]

xét [TEX]A=\frac{x^2-xy-3y^2}{x^2+xy+y^2}(x^2+y^2\not=0)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A=\frac{1-\frac{y}{x}-\frac{3y^2}{x^2}}{1+\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}}= \frac{1-t-3t^2}{1+t+t^2}\text{voi t=\frac{y}{x}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow At+A+At^2-1+t+3t^2=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (A+3)t^2+(A+1)t+(A-1)=0[/TEX]
[TEX]A\not=-3 \triangle=-3A^2-6A+13\geq 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{-3-4\sqrt3}{3}\leq A\leq \frac{-3+4\sqrt3}{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{-3-4\sqrt3}{3}\leq A\leq \frac{-3+4\sqrt3}{3}[/TEX]
Mình thấy có vấn đề nếu thay biểu thức A vào đây, với [TEX]x^2+xy+y^2 \leq 3[/TEX]. Bạn có thể giải thích kĩ hơn chỗ này được không. Thanks

 

[vodichhocmai]

Cho x, y là các số thực thoả mãn [TEX]x^2+xy+y^2 \leq 3[/TEX]. Chứng minh rằng

[TEX] -4\sqrt{3} -3 \leq x^2-xy-3y^2 \leq 4\sqrt{3} +3[/TEX]

[TEX]T:=\frac{P}{S}:=\frac{x^2 - xy - 3y^2 }{x^2 +xy +y^2 }\ \ \ \ note: \(0<S\le 3\)[/TEX]

Nếu [TEX]y=0\righ T:=1[/TEX]

Nếu [TEX]y\neq 0[/TEX] ta xét phương trình

[TEX]T:=\frac{k^2 - k- 3 }{k^2 +k +1 }[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \(1-T\)k^2-\(1+T\)k-3-T=0[/TEX] Phải có nghiệm

Nếu [TEX]T:=1[/TEX] vẫn tồn tại [TEX]k[/TEX]

Nếu [TEX]T\neq 1[/TEX] ta có.

[TEX]\ \ \ \ \ \ \Delta:=-3T^2-6T+13\ge 0[/TEX]

[TEX]\ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \frac{-3-4\sqrt{3}}{3}\le T\le \frac{-3+4\sqrt{3}}{3}[/TEX]

Do đó chúng ta có :

[TEX]S\(\frac{-3-4\sqrt{3}}{3}\)\le P\le S\( \frac{-3+4\sqrt{3}}{3}\)[/TEX]

[TEX]\righ -3-4\sqrt{3} \le P\le -3+4\sqrt{3}[/TEX]