Bất đẳng thức và một số pp giải

[linh954]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

mình có mấy bài nì
mấy bài đầu thì dễ thui
bài 1Cho x,y,z dương thoả mãn xy+yz+zx=3
CM
[TEX]({x}^{4}+2)({y}^{4}+2)({z}^{4}+2)\geq27[/TEX]
bài 2 Cho x,y,z sao cho [TEX]{x}^{2}+{y}^{2+}{z}^{2}=1[/TEX]
tìm min của S=xy+yz+2zx
thế đã

 

[bigbang195]

mình có mấy bài nì
mấy bài đầu thì dễ thui
bài 1Cho x,y,z dương thoả mãn xy+yz+zx=3
CM
[TEX]({x}^{4}+2)({y}^{4}+2)({z}^{4}+2)\geq27[/TEX]
bài 2 Cho x,y,z sao cho [TEX]{x}^{2}+{y}^{2+}{z}^{2}=1[/TEX]
tìm min của S=xy+yz+2zx
thế đã

nên

Ta có :

làm tương tự ta cũng có

nên

Theo BDT holder

 

[vodichhocmai]

[TEX](x^4+1+1)(1+y^4+1)(1+1+z^4)(1+1+1)\ge \(x+y+z)^4\ge 9(xy+yz+zx)^2[/TEX]

[TEX]\(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)x^2+\(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)z^2\ge 2\(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)zx[/TEX]

[TEX]\( \frac{3-\sqrt{5}}{2}\)x^2+\frac{y^2}{2}\ge 2\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{4}}xy[/TEX]

[TEX]\( \frac{3-\sqrt{5}}{2}\)z^2+\frac{y^2}{2}\ge 2\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{4}}yz[/TEX]

[TEX]\righ 1\ge 2\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{4}}\(xy+yz+2zx)[/TEX]

[TEX]\righ xy+yz+2zx\le \frac{1}{2\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{4}}}[/TEX]

 

[bigbang195]

Chắc là có tổng quát anh gõ dùm em di ạ
Cảm ơn anh !

 

[vodichhocmai]

Chắc là có tổng quát anh gõ dùm em di ạ
Cảm ơn anh !

Bài 1 hày bài 2?? , nếu bài 1 thì vào trang anh mà tìm , còn nếu bài 2 thì anh gõ cho

 

[bigbang195]

Bài 1 hày bài 2?? , nếu bài 1 thì vào trang anh mà tìm , còn nếu bài 2 thì anh gõ cho

bài 2 ạ,
nhưng trang anh ở đâu ạ !

 

[vodichhocmai]

Chắc là có tổng quát anh gõ dùm em di ạ
Cảm ơn anh !

[TEX]\left{a^2+b^2+c^2=1\\T=ab+bc+mca[/TEX]
Trong đó m là hằng số cho trước
Rõ rang ở đây chỉ có [TEX]b[/TEX]là khác lạ [TEX]tach:\ \ 1=l+(1-l)\ \ 0\le l\le 1[/TEX]


[TEX]\left{la^2+lc^2\ge 2lac\\ (1-l)a^2+\frac{b^2}{2}\ge 2ab\sqrt{\frac{1-l}{2}}\\(1-l)c^2+\frac{b^2}{2}\ge 2bc\sqrt{\frac{1-l}{2}} [/TEX]

Cộng vế theo vế
[TEX]1\ge 2lac+2ab\sqrt{\frac{1-l}{2}}+\frac{b^2}{2}+ 2bc\sqrt{\frac{1-l}{2}} = 2\sqrt{\frac{1-l}{2}}(ab+bc+mca) [/TEX]

cần bằng tỉ lệ hệ số giả thiết.Ta cần có

[TEX]\blue\frac{l}{\sqrt{\frac{1-l}{2}}}=m\Leftrightarrow 2l^2+m^2l-m^2=0\Leftrightarrow l=\frac{-m^2+\sqrt{m^4+8m^2}}{4} [/TEX]

Và lúc đó thì ta có

[TEX]T\le \frac{1}{2\sqrt{\frac{1-l}{2}}}\ \ voi\ \ l=\frac{-m^2+\sqrt{m^4+8m^2}}{4} [/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]\left{a^2+b^2+c^2=1\\T=ab+bc+mca[/TEX]
Trong đó m là hằng số cho trước
Rõ rang ở đây chỉ có [TEX]b[/TEX]là khác lạ [TEX]tach:\ \ 1=l+(1-l)\ \ 0\le l\le 1[/TEX]


[TEX]\left{la^2+lc^2\ge 2lac\\ (1-l)a^2+\frac{b^2}{2}\ge 2ab\sqrt{\frac{1-l}{2}}\\(1-l)c^2+\frac{b^2}{2}\ge 2bc\sqrt{\frac{1-l}{2}} [/TEX]

Cộng vế theo vế
[TEX]1\ge 2lac+2ab\sqrt{\frac{1-l}{2}}+\frac{b^2}{2}+ 2bc\sqrt{\frac{1-l}{2}} = 2\sqrt{\frac{1-l}{2}}(ab+bc+mca) [/TEX]

cần bằng tỉ lệ hệ số giả thiết.Ta cần có

[TEX]\frac{l}{\sqrt{\frac{1-l}{2}}}=m\Leftrightarrow 2l^2+m^2l-m^2=0\Leftrightarrow l=\frac{-m^2+\sqrt{m^4+8m^2}}{16} [/TEX]

Và lúc đó thì ta có

[TEX]T\le \frac{1}{2\sqrt{\frac{1-l}{2}}}\ \ voi\ \ l=\frac{-m^2+\sqrt{m^4+8m^2}}{16} [/TEX]

[TEX]m=1 [/TEX]ta đc [TEX]l=0[/TEX]
Trang của anh là trang nào ạ !

 

[vodichhocmai]

[TEX]m=1[/TEX]ta đc [TEX]l=\frac{1}{2}?????? [/TEX]
Trang của anh là trang nào ạ !

Thì những bài viết cũ của anh , vào đó kà tìm , anh có viết 1 chuyên đề về Holder mà, không thì em vào goog hocmai đó đánh

 

[linh954]

tiếp nè
bài1: bài nì có rất nhìu cách giải
Cho x,y,z>0 CM
[TEX]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\geq\frac{3}{2}[/TEX]
BÀi 2: Cho a,b,c>0CM
[TEX]\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{c+3a}+\frac{c}{a+3b}\geq \frac{3}{4}[/TEX]
2 bài nì có cách giải tổng quát
các bạn cứ giải theo cách của mình đi

 

[linh954]

[TEX]\(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)x^2+\(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)z^2\ge 2\(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)zx[/TEX]

[TEX]\( \frac{3-\sqrt{5}}{2}\)x^2+\frac{y^2}{2}\ge 2\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{4}}xy[/TEX]

[TEX]\( \frac{3-\sqrt{5}}{2}\)z^2+\frac{y^2}{2}\ge 2\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{4}}yz[/TEX]

[TEX]\righ 1\ge 2\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{4}}\(xy+yz+2zx)[/TEX]

[TEX]\righ xy+yz+2zx\le \frac{1}{2\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{4}}}[/TEX]

nhưng mà anh ơi
đề bài là tìm min mà!!!

 

[bigbang195]

tiếp nè
bài1: bài nì có rất nhìu cách giải
Cho x,y,z>0 CM
[TEX]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\geq\frac{3}{2}[/TEX]
BÀi 2: Cho a,b,c>0CM
[TEX]\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{c+3a}+\frac{c}{a+3b}\geq \frac{3}{4}[/TEX]
2 bài nì có cách giải tổng quát
các bạn cứ giải theo cách của mình đi

Bài 1:

Luôn đúng

 

[quyenuy0241]

tiếp nè
bài1: bài nì có rất nhìu cách giải
Cho x,y,z>0 CM
[TEX]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\geq\frac{3}{2}[/TEX]
BÀi 2: Cho a,b,c>0CM
[TEX]\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{c+3a}+\frac{c}{a+3b}\geq \frac{3}{4}[/TEX]
2 bài nì có cách giải tổng quát
các bạn cứ giải theo cách của mình đi

Mình giải tổng quát nhé:
với số nguyên [tex]r\geq1[/tex] tìm min của
[tex]A=\sum{\frac{a}{b+r.c}}\geq\sum{\frac{a^2}{ab+r.ac}}\geq\frac{3}{r+1}[/tex]

 

[bigbang195]

Mình giải tổng quát nhé:
với số nguyên [tex]r\geq1[/tex] tìm min của
[tex]A=\sum{\frac{a}{b+r.c}}\geq\sum{\frac{a^2}{ab+r.ac}}\geq\frac{3}{r+1}[/tex]

Cauchy-Schwar phải ko anh .

 

[linh954]

tiếp nè
bài1: bài nì có rất nhìu cách giải
Cho x,y,z>0 CM
[TEX]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\geq\frac{3}{2}[/TEX]
BÀi 2: Cho a,b,c>0CM
[TEX]\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{c+3a}+\frac{c}{a+3b}\geq \frac{3}{4}[/TEX] (1)
2 bài nì có cách giải tổng quát
các bạn cứ giải theo cách của mình đi

mình có cách khác nè
đặt b+3c=x
c+3a=y
a+3b=z
tính a,b,c theo x,y,z rùi thay vàp VT(1) sau đó áp dụng BĐT Côsi cho 3 số
[TEX] \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}[/TEX]
thông cảm nha mình gõ tex rùi nhưng bị lỗi

 

[linh954]

bài típ nha bài nì cần phải biến đổi chút mới ra dạng trên đc
cho a,b,c dương abc=1
CMR
[TEX]\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\geq1[/TEX]

 

[bigbang195]

bài típ nha bài nì cần phải biến đổi chút mới ra dạng trên đc
cho a,b,c dương abc=1
CMR
[TEX]\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\geq1[/TEX]

Đề bài sai rùi Chị .

 

[quyenuy0241]

bài típ nha bài nì cần phải biến đổi chút mới ra dạng trên đc
cho a,b,c dương abc=1
CMR
[TEX]\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\geq1[/TEX]

Sai đề roài linh954 àhải sửa thành
(*)cho a,b,c dương abc=1
CMR
[TEX]\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\leq1[/TEX]

 

[bigbang195]

Sai đề roài linh954 àhải sửa thành
(*)cho a,b,c dương abc=1
CMR
[TEX]\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\leq1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sum (a+2)(b+2) \le (2+a)(2+b)(2+c)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum ab+4\sum a+12 \le 8+4\sum a+2\sum ab+abc[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum ab \ge 3[/TEX] đúng

 

[kira_l]

Sai đề roài linh954 àhải sửa thành
(*)cho a,b,c dương abc=1
CMR
[TEX]\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\leq1[/TEX]

[tex]\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c} \leq 1[/tex]

[tex] \frac{a}{2+a}+\frac{b}{2+b}+\frac{c}{2+c} \geq 1[/tex]

[tex]\Rightarrow \left{\begin{a=\frac{x}{y}}\\{b=\frac{y}{z}}\\{c= \frac{z}{x}}[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{\frac{x}{y}}{2+\frac{x}{y}}+\frac{\frac{y}{z}}{2+\frac{y}{z}}+ \frac{\frac{z}{x}}{2+\frac{z}{x}} \geq1[/tex]

[tex]\Rightarrow\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{y+2z}+\frac{z}{z+2x} \geq 1(1)[/tex]

[tex]Cauchy-Schwarz \Rightarrow \frac{x}{x+2y}+\frac{y}{y+2z}+\frac{z}{z+2x} \geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+2y).x+(y+2z).y+(z+2x).z} \geq1[/tex]

[tex]\Rightarrow (1) [/tex] Đúng [tex]\Rightarrow dpcm[/tex]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [tex]a=b=b=1[/tex]
.