Bất đẳng thức mọi người ơi

[dimitar]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho xy+yz+xz=xyz cm
x^2/(x+yz) +y^2/(y+xz) +z^2/(z+xy) >= (x+y+z)/4

 

[vodichhocmai]

cho [TEX]\blue xy+yz+xz=xyz [/TEX]
[TEX]Cmr:\ \ \red x^2/(x+yz) +y^2/(y+xz) +z^2/(z+xy) >= (x+y+z)/4[/TEX]

[TEX]\blue x+yz =\frac{x^2+xyz}{x}=\frac{x^2+xy+yz+zx}{x}=\frac{ (x+y)(x+z) }{x}[/TEX]

[TEX]\red \righ \sum_{cyc}\frac{x^2}{x+yz}=\sum_{cyc}\frac{x^3}{(x+y)(x+z)} [/TEX]

Áp dụng [TEX]\blue AM-GM[/TEX] thì :

[TEX]\red \frac{x^3}{(x+y)(x+z)}+\frac{x+y}{8}+\frac{y+z}{8}\ge \frac{3}{4}x[/TEX]

[TEX]\blue\righ \sum_{cyc} \frac{x^3}{(x+y)(x+z)}\ge \frac{x+y+z}{4} \ \(dpcm)[/TEX]

 

[mr_winds_4291]

tìm giá trị max

cho 0\leqx,y,z\leq2
và x+y+z=3
tìm max của S=x^3+y^3+z^3
giải hộ em với các bác ơi!

 

[mei_mei]

bài này cũng đơn giản. bạn làm thế này nè
dùng BĐT cosi có
x^3 + 1 + 1 \geq 3x
y^3 + 1 + 1 \geq 3y
z^3 + 1 + 1 \geq 3z
=> x^3 + y^3 +z^e \geq 3(x+y+z)- 6 = 3
dấu = xảy ra khi x=y=z=1

 

[phuca5gv]

Một bài bất đẳng thức khó:
Chứng minh rằng với các số thực không âm a,b,c,d thì ta luôn có bất đẳng thức:
[TEX] (a+b+c+d)^4 + 176abcd \geq 27(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)[/TEX]

 

[dimitar]

còn nữa mọi người này
1. Cho x,y,z>0 thỏa mãn xyz=1 CM:
x^2/(1+y) +y^2/(1+z) +z^2/(1+x) >= 3/2
2.Cho x,y,z,thỏa mãn x+y+z=0 CM
căn bậc 2 của(2+4^x) + căn bậc 2 của(2+4^y) + căn bậc 2 của(2+4^z) >=3căn 3
3.a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3/4 CM
căn bậc 3 của(a+3b) + căn bậc3 của(b+3c) + căn bậc 3 của(c+3a) <= 3
Không bjk gõ công thức mọi người thông cảm nhá hj`^^

 

[vodichhocmai]

còn nữa mọi người này
[TEX]1. Cho x,y,z>0 \ \ xyz=1 CM:[/TEX]
[TEX]x^2/(1+y) +y^2/(1+z) +z^2/(1+x) >= 3/2[/TEX]

[TEX]\sum_{cyc} \frac{x^2}{1+y} +\sum_{cyc}\frac{1+y}{4}\ge \sum_{cyc} x[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \sum_{cyc} \frac{x^2}{1+y}\ge \frac{3}{4}\sum_{cyc} x-\frac{3}{4}\ge \frac{3}{2} [/TEX]

 

[vodichhocmai]

2.Cho x,y,z,thỏa mãn x+y+z=0 CM
căn bậc 2 của(2+4^x) + căn bậc 2 của(2+4^y) + căn bậc 2 của(2+4^z) >=3căn 3

[TEX] \vec {a}=$\sqrt{2}; 2^x$[/TEX]
[TEX] \vec {b}=$\sqrt{2}; 2^y$[/TEX]
[TEX] \vec {c}=$\sqrt{2}; 2^z$[/TEX]

Áp dụng [TEX]vector[/TEX] ta có :

[TEX]\sum_{cyc} |\vec{a}|\ge \|\sum_{cycy} \vec{a}\| [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \sum_{cyc}\sqrt{2+2^x}\ge \sqrt{$3\sqrt{2}$^2+(2^x+2^y+2^z)^2}\ge \sqrt{18+$3.\sqrt[3]{2^{x+y+z}}$^2}=3\sqrt{3}\ \ (dpcm)[/TEX]

 

[vodichhocmai]

3.a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3/4 CM
căn bậc 3 của(a+3b) + căn bậc3 của(b+3c) + căn bậc 3 của(c+3a) <= 3
Không bjk gõ công thức mọi người thông cảm nhá hj`^^

Áp dụng anh [TEX]Holder[/TEX] em có :

[TEX]$$(a+3b)+(b+3c)+(c+3a)$$(1+1+1)(1+1+1)\ge $\sum_{cyclic}\sqrt[3]{a+3b}$^3[/TEX]

[TEX]\righ $\sum_{cyclic}\sqrt[3]{a+3b}$^3\le 9.3[/TEX]

[TEX]\righ \sum_{cyclic}\sqrt[3]{a+3b}\le 3 (dpcm)[/TEX]

 

[vodichhocmai]

BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER VÀ HỆ QUẢ CỦA NÓ​

Có $$m$$ dãy số dương $$( a_{1,1};a_{1,2};....a_{1,n})\ ( a_{2,1};a_{2,2};....a_{2,n})\ \ .............\ \ ( a_{m,1};a_{m,2};....a_{m,n})$$ ta luôn có :.

$$\ \ \ \ \ \ \prod_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{i,j} \right)\ge \left(\sum_{j=1}^{n}\sqrt[m]{\prod_{i=1}^{m}a_{i,j}}\right)^m$$

Hệ quả quen thuộc sau :

Cho chín số thực dương $$\blue a,b,c,x,y,z,m,n,p$$ ta luôn có :

$$\blue (a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)\ge (axm+byn+czp)^3$$

Áp dụng $$AM-GM$$ ta có :
$$\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3} +\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{m^3}{m^3+n^3+p^3} \ge 3\frac{axm}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}$$

$$\frac{b^3}{a^3+b^3+c^3} +\frac{y^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{n^3}{m^3+n^3+p^3} \ge 3\frac{byn}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}$$

$$\frac{c^3}{a^3+b^3+c^3} +\frac{z^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{p^3}{m^3+n^3+p^3} \ge 3\frac{czp}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}$$

Cộng vế theo vế ta được $$(dpcm)$$


Chứng minh rằng $$\red\forall a,b,c>0$$ thì : $$\red3 (a^3+b^3+c^3)^2\ge (a^2+b^2+c^2)^3$$

Áp dụng $$Holder$$ ta có .

$$(a^3+b^3+c^3)(a^3+b^3+c^3)(1+1+1)\ge (a^2+b^2+c^2)^3$$

Vậy bất đẳng thức đả được chứng minh


Chứng minh rằng $$\red\forall a,b,c>0$$ thì : $$\red \sum_{cyclic}\frac{a^3}{b^2}\ge \sum_{cyclic}\frac{a^2}{b}$$

Áp dụng $$Holder$$ ta có .

$$\sum_{cyc}\frac{a^2}{b}.\sum_{cyc}a\ge \left(\sum_{cyc}a\right)^2$$

$$\sum_{cyc}\frac{a^3}{b^2}.\sum_{cyc}a\ge \left(\sum_{cyc}\frac{a^2}{b}\right)^2$$

Nhân vế theo vế ta được $$(dpcm)$$

Cho [TEX]\red a,b,c[/TEX] là 3 số thực dương bất kì.
[TEX]\red CMR:\ \(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3) \geq (1+ab^2)(1+bc^2)(1+ca^2)[/TEX]

Áp dụng $$Holder$$ ta có .

[TEX](1+a^3)(1+b^3)(1+b^3) \geq (1+ab^2)^3[/TEX]

[TEX](1+b^3)(1+c^3)(1+c^3) \geq (1+bc^2)^3[/TEX]

[TEX](1+c^3)(1+a^3)(1+a^3) \geq (1+ca^2)^3[/TEX]

Nhân vế theo vế ta được $$(dpcm)$$

$$Cho\ \ \red a,b,c>0\ \ CMR:\ \ A=\sum_{cyclic}\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\ge 1$$

Đặt: $$B= \sum_{cyclic}a(a^2+8bc)=a^3+b^3+c^3+24abc$$

[tex]\righ A^2.B\ge (a+b+c)^3[/tex]

Ta cần chứng minh: $$(a+b+c)^3\ge a^3+b^3+c^3+24abc$$

$$\leftrightarrow 3a(b-c)^2+3b(c-a)^2+3c(a-b)^2\ge 0$$

Vậy bài toán đả được chứng minh .

[TEX]\red Cho\ \ a,b,c>0\ \ CMR:\ \ A=\sum_{cyclic}\frac{a^2}{b} \geq 3\sqrt[4]{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}[/TEX]

Đặt $$B= \sum_{cyclic} a^2 b^2$$

[tex]\righ A^2.B\ge (a^2+b^2+c^2)^3[/tex]

Ta cần chứng minh: [tex]\frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\ge 9\sqrt{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}[/TEX]

[tex]\leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^3\ge 9.(a^2b^2+ b^2c^2+c^2a^2)\sqrt{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}\ \ [/TEX]

Mặt khác ta có :

[tex] (a^2+b^2+c^2)^3=$$(a^2+b^2+c^2)^2$$^{\frac{3}{2}}=$$(a^4+b^4+c^4)+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$^{\frac{3}{2}} [/TEX]

[tex]\rightarrow (a^2+b^2+c^2)^3\ge $3.\sqrt[3]{(a^4+b^4+c^4).(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2}$^{\frac{3}{2}} [/TEX]

[tex]\rightarrow (a^2+b^2+c^2)^3\ge 9.(a^2b^2+ b^2c^2+c^2a^2)\sqrt{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}\ \ [/TEX]

Vậy bất đẳng thức chứng minh xong .

[TEX]\red Cho\ \ a,b,c>0\ \ & \ \ a^4+b^4+c^4=3\ \ CMR:\ \ A=\sum_{cyclic}\frac{a^2}{b} \geq 3 [/TEX].
[TEX]\red Cho \ \ a,b,c,d>0\ \ GTNN $\frac{a}{b+c+d}+\frac{2b}{c+d+a}+ \frac{3c}{d+a+b}+ \frac{4d}{a+b+c}$[/TEX]

Bạn nghỉ bài nầy thế nào ? Nó cũng dễ

 

[dimitar]

mọi người thử làm bài này xem.1. Cho tam giác ABC có diện tích =1. lấy M thuộc BC sao cho R1+R2=căn2 trong đó R1 R2 là bán kjnh' kjnh' đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM, ACM. Nhận diện tam giác ABC
2. cho xyz hok âm thỏa mãn x+y+z=1 CM
xy + yz+ zx<= 1/4 + 3xyz

 

[vodichhocmai]

cho 0\leqx,y,z\leq2
và[TEX] x+y+z=3[/TEX]
tìm max của[TEX] S=x^3+y^3+z^3[/TEX]
giải hộ em với các bác ơi!

[TEX]\blue S=x^3+z^3+(3-x-z)^3[/TEX][TEX]\blue \ \ \ \ g s :\ \ 0\le x\le y\le z\le 2[/TEX]

[TEX]\blue \blue S_x'=3x^2-3(3-x-z)^2=3(x^2-y^2)\le 0[/TEX]

[TEX]\blue \Rightarrow S\le S(0)=z^3+(3-z)^3\ \ (*)[/TEX]

[TEX]\blue \ \ f(z)=z^3+(3-z)^3[/TEX]

[TEX]\blue \ \ f'(z)=3z^2-3(3-z)^2[/TEX]

[TEX]\blue \ \ f'(z)=0\Leftrightarrow z=\frac{3}{2}[/TEX] [TEX]\blue \ \ \left{f(2)=9\\ f(\frac{3}{2}\)=\frac{27}{4}\\f(1)=9[/TEX]

[TEX]\blue (*)\Rightarrow S\le S(0)\le 9[/TEX]

[TEX]\blue \Rightarrow Max A=9\Leftrightarrow \left{z=2\\x=0\\y=1\\ \[ cyclic[/TEX]

 

[hot_spring]

cho [TEX]0\leq x,y,z\leq2[/TEX]
và [TEX]x+y+z=3[/TEX]
tìm max của [TEX]S=x^3+y^3+z^3[/TEX]
giải hộ em với các bác ơi!

Lời giải của anh vodichhocmai hơi dài. Có thể làm gọn hơn như sau:

Giả sử x là số lớn nhất trong 3 số x,y,z. Khi đó [TEX]x \in [1;2][/TEX]

Ta có [TEX]S=x^3+y^3+z^3 \leq x^3+(y+z)^3 =x^3+(3-x)^3=f(x)[/TEX]

Khảo sát f(x) trên [1;2] ta cũng tìm được maxS=9 như trên.

 

[dimitar]

hok ai làm bài trên cảu tui ah`. Cái bài R1 R2 ấy dạng lạ hoắc biến đổi mãi hok ra.

 

[c2h88]

trong cuốn sách nhưng viên kim cương của tác giả Trần phương nói rất kỉ về cái này , mua về thảm khảo cũng rất tốt