Có [tex]m[/tex] dãy số dương [tex] ( a_{1,1};a_{1,2};....a_{1,n})\ ( a_{2,1};a_{2,2};....a_{2,n})\ \ .............\ \ ( a_{m,1};a_{m,2};....a_{m,n}) [/tex] ta luôn có :.
[tex]\ \ \ \ \ \ \prod_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{i,j} \right)\ge \left(\sum_{j=1}^{n}\sqrt[m]{\prod_{i=1}^{m}a_{i,j}}\right)^m[/tex]
Hệ quả quen thuộc sau :
Cho chín số thực dương [tex]\blue a,b,c,x,y,z,m,n,p[/tex] ta luôn có :
[tex]\blue (a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)\ge (axm+byn+czp)^3[/tex]
Áp dụng [tex]AM-GM[/tex] ta có :
[tex]\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3} +\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{m^3}{m^3+n^3+p^3} \ge 3\frac{axm}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}[/tex]
[tex]\frac{b^3}{a^3+b^3+c^3} +\frac{y^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{n^3}{m^3+n^3+p^3} \ge 3\frac{byn}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}[/tex]
[tex]\frac{c^3}{a^3+b^3+c^3} +\frac{z^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{p^3}{m^3+n^3+p^3} \ge 3\frac{czp}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}[/tex]
Cộng vế theo vế ta được [tex](dpcm)[/tex]
Chứng minh rằng [tex]\red\forall a,b,c>0[/tex]
thì : [tex]\red3 (a^3+b^3+c^3)^2\ge (a^2+b^2+c^2)^3[/tex]
Áp dụng [tex]Holder[/tex] ta có .
[tex](a^3+b^3+c^3)(a^3+b^3+c^3)(1+1+1)\ge (a^2+b^2+c^2)^3[/tex]
Vậy bất đẳng thức đả được chứng minh
Chứng minh rằng [tex]\red\forall a,b,c>0[/tex]
thì : [tex]\red \sum_{cyclic}\frac{a^3}{b^2}\ge \sum_{cyclic}\frac{a^2}{b}[/tex]
Áp dụng [tex]Holder[/tex] ta có .
[tex]\sum_{cyc}\frac{a^2}{b}.\sum_{cyc}a\ge \left(\sum_{cyc}a\right)^2[/tex]
[tex]\sum_{cyc}\frac{a^3}{b^2}.\sum_{cyc}a\ge \left(\sum_{cyc}\frac{a^2}{b}\right)^2[/tex]
Nhân vế theo vế ta được [tex](dpcm)[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
