Cách 1
Áp dụng
[tex]\frac{1}{4-ab}\le \frac{2}{8-a^2-b^2}\leq \frac{2}{8-a^2-b^2} \le \frac{1}{2}(\frac{1}{4-a^2}+\frac{1}{4-b^2})[/tex]
Nên
[tex]\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\leq \frac{1}{4-a^2}+\frac{1}{4-b^2}+\frac{1}{4-c^2}[/tex]
Ta có cái này : [tex]\frac{1}{4-a^2}\le \frac{a^4+5}{18}[/tex] ( cái này bạn CM tương đương là ra ý mà
)
Do đó
[tex]\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\leq \frac{1}{4-a^2}+\frac{1}{4-b^2}+\frac{1}{4-c^2}\leq \frac{a^4+5}{18}+\frac{b^4+5}{18}+\frac{c^4+5}{18}=\frac{3+5+5+5}{18}=1[/tex]
Cách 2
Cauchy-Schwarz dạng phân thức có:
[tex]\frac{1}{{ab - 4}} + \frac{1}{{bc - 4}} + \frac{1}{{ca - 4}} \ge \frac{{\left( {1 + 1 + 1} \right)^2 }}{{ab + bc + ca - 12}} \ge \frac{9}{{a^2 + b^2 + c^2 - 12}}[/tex]
Ta còn có cái này [tex]\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)^2 \le 3\left( {a^4 + b^4 + c^4 } \right) = 9 \Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 \le 3[/tex]
Hay
[tex]\frac{1}{{ab - 4}} + \frac{1}{{bc - 4}} + \frac{1}{{ca - 4}} \ge \frac{9}{{a^2 + b^2 + c^2 - 12}} \ge \frac{9}{{3 - 12}} = - 1 \rightarrow \frac{1}{{4 - ab}} + \frac{1}{{4 - bc}} + \frac{1}{{4 - ca}} \le 1[/tex]
Dấu = xr khi a=b=c=1
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn