Bất đẳng thức khoai

[linhlove313]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c dương
[TEX]\sqrt[2]{\frac{2a}{a+b}} + \sqrt[2]{\frac{2b}{b+c}}+ \sqrt[2]{\frac{2c}{c+a}} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
@-)

 

[vodichhocmai]

cho a,b,c dương
[TEX]\sqrt[]{\frac{2a}{a+b}} + \sqrt[]{\frac{2b}{b+c}}+ \sqrt[]{\frac{2c}{c+a}} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
@-)

Dễ chứng minh rằng

[TEX]\sqrt[]{\frac{2a}{a+b}}=\frac{a}{\sqrt{a\frac{a+b}{2}}} \ge \frac{4a}{3a+b}[/TEX]

[TEX]\righ VT \ge \frac{4a}{3a+b}+\frac{4b}{3b+c}+\frac{4c}{3c+a}\ge \frac{4(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}\ge \frac{4(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2)+a^2+b^2+c^2 }=VP[/TEX]

 

[linhlove313]

...

Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc [TEX]\frac{1}{x+y} \le \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}),\ \forall x,\ y > 0[/TEX] ta được:
[TEX]\frac{ab}{a+b+2c} \le \frac{1}{4}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}).[/TEX]
Tương tự với hai biểu thức còn lại cho ta điều phải chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi [TEX]a=b=c.[/TEX]