Toán Bất đẳng thức khó

[phuonganh2404]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c >0 va ab+bc+cd+da =1.
CMR:
A=[tex]\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b^{3}}{c+d+a}+\frac{c^{3}}{d+a+b}+\frac{d^{3}}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}[/tex]

 

[Thy Na]

Ta có:
a³/(b+c+d) + a( b+c+d)/9 = a^4/[a( b+c+d)] + a( b+c+d)/9 ≥ 2/3a²( BĐT coosssi ). Tương tự thì
b³/(c+d+a) + b( c+d+a)/9 ≥ 2/3b²
c³/(d+a+b) + c( a+b+d)/9 ≥ 2/3c²
d³/(a+b+c) + d( a+b+c)/9 ≥ 2/3d²
Cộng vế theo vế => A + 1/3(ab + bc + cd + da) ≥ 2/3( a² +b²+c²+d²)
= 1/3[ (a²+b²)+( a²+d²)+(b²+c²)+(c²+d²)] ≥2/3(ab + bc + cd + da)
Mà ab + bc + cd + da = 1 => A ≥ 1/3 (DPCM)

 

[phuonganh2404]

[tex]\frac{a(b+c+d)}{9}+\frac{b(a+c+d)}{9}+\frac{c(b+a+d)}{9}+\frac{d(b+c+a)}{9} = \frac{2(ab+bc+cd+da)+2(ac+bd)}{9} = \frac{2+2(ac+bd)}{9}[/tex]
[tex]\neq[/tex]1/3(ab + bc + cd + da)
cậu bị nhầm chỗ này hay sao ý.

 

[phuonganh2404]

tiếp theo phải là:
[tex]A+\frac{2+2(ac+bd)}{9}\geq \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}{3} \Leftrightarrow A\geq \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}{3}-\frac{2+2(ac+bd)}{9} \geq \frac{6(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})-(2+a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}{9} = \frac{5(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})-2}{9} \Leftrightarrow 2A=\frac{5(a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}+c^{2}+d^{2}+d^{2}+a^{2})-4}{9} \geq \frac{10(ab+bc+cd+ad)-4}{9}=\frac{2}{3} \Leftrightarrow A\geq \frac{1}{3}[/tex]