mình giúp bạn nhé
Theo giả thiết [tex]9(a^4+b^4+c^4)-25(a^2+b^2+c^2)+48=0[/tex]
suy ra [tex]3(a^2+b^2+c^2)^2-25(a^2+b^2+c^2)+48\leq0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3 \leq a^2+b^2+c^2 \leq \frac{16}{3}[/tex]
Ta có [tex]P = \frac{a^2}{b+2c}+ \frac{b^2}{c+2a}+ \frac{c^2}{a+2b}= \frac{a^4}{a^2b+2a^2c}+ \frac{b^4}{b^2c+2b^2a}+\frac{c^4}{c^2a+2c^2b}[/tex]
Áp dụng bất đẳng thức bunhyacopsky
[tex] P = \frac{a^4}{a^2b+2a^2c}+ \frac{b^4}{b^2c+2b^2a}+\frac{c^4}{c^2a+2c^2b}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a+2(a^2c+b^2a+c^2b)} [/tex]
Ta có [tex]a^2b+b^2c+c^2a=a.ab+b.bc+c.ca\leq\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}[/tex]
Tương tự [tex]2(a^2c+b^2a+c^2b)\leq\2sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}[/tex]
suy ra [tex]a^2b+b^2c+c^2a+2(a^2c+b^2a+c^2b)\leq3sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}[/tex]
mà [tex]3sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}=sqrt{3(a^2+b^2+c^2)3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leq sqrt{3(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)^2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow3sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leq sqrt{3(a^2+b^2+c^2)^3}[/tex]
[tex]\Rightarrow P \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{sqrt{3(a^2+b^2+c^2)^3}}= \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \geq 1[/tex]
Vậy Min P = 1 khi a = b= c = 1
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
