bất đẳng thức khó

[isu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho 3 so duong a,b,c. biet: ab+bc+ca=3. chung minh:
1/(a^2 +2) +1/(b^2 +2) +1/(c^2 +2)\leq1

 

[vodichhocmai]

cho 3 so duong a,b,c. biet: ab+bc+ca=3. chung minh:
1/(a^2 +2) +1/(b^2 +2) +1/(c^2 +2)\leq1

Xin lỗi bạn vì p chậm quá . Mấy hôm nay vào mà ko để ý mục của mình

Ta qui đồng lại như sau :

[TEX]VT-1:=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2c^2-4}{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)}\ge 0[/TEX]

Vậy bài toán thành [TEX]\blue \left{ x,y,z \ge 0\\ x+y+z=3\\ x^2+y^2+z^2+xyz-4\ge 0[/TEX]

Bài toán tới đây thì quá dễ bạn hễ

 

[w3..lp]

Theo em thì làm bằng Côsi ngược dấu như thế này:

[tex]2.VT = 1- \frac{a^2}{a^2 + 2} + 1 - \frac{b^2}{b^2+2} + 1 - \frac{c^2}{c^2+2}[/tex]
=[tex]3 - ( \frac{a^2}{a^2 + 2} + \frac{b^2}{b^2+2} + \frac{c^2}{c^2+2} )[/tex]
Mà [tex]\frac{a^2}{a^2 + 2} + \frac{b^2}{b^2+2} + \frac{c^2}{c^2+2} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6}[/tex] - BDT Cauchy-Schwarz
Có [tex](a+b+c)^2[/tex] = [tex]a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca)[/tex]
\Leftrightarrow [tex](a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 +6[/tex]
\Rightarrow [tex]\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6} =1 [/tex]
\Rightarrow 2.VT \leq 3 - 1 =2 \Rightarrow VT \leq 1 (đpcm).
Dấu = \Leftrightarrow a=b=c=1.