bất đẳng thức khó mời cả nhà cùng làm

B

bigbang195

Bài của ilovetoan post cậu hiểu cách làm chưa:
mình có 1 bài phát triển nè.
[TEX]a,b>0[/TEX]
chứng minh:
[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+7(a+b) \ge 8\sqrt{2(a^2+b^2)}[/TEX]
 
B

bigbang195

bigbang195 said:
[TEX]a,b,c >0 [/TEX]
[TEX]a+b+c=1[/TEX] Tìm max :
[TEX]\sum \frac{a}{a^3+a^2+1}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

khi nào anh vodichhocma online nhờ anh nói em bí quyết cách tìm số k .
đây là cách em:
ta luôn có theo am-gm
[TEX]x^3+\frac{1}{27}+\frac{1}{27} \ge 3\sqrt[3]{x^3.\frac{1}{27^2}}=\frac{x}{3}[/TEX]
[TEX]x^2+\frac{1}{9} \ge 2\sqrt[]{x^2.\frac{1}{9}} =\frac{2a}{3}[/TEX]
hay [TEX]x^3+x^2+\frac{5}{27} \ge x[/TEX]

Trở về bài toán ban đầu
[TEX]\sum \frac{a}{a^3+a^2+\frac{5}{27}+\frac{22}{27}}[/TEX]
[TEX]\le \sum \frac{a}{a+\frac{22}{27}} =3-\sum \frac{\frac{22}{27}}{a+\frac{22}{27}} \le 3-.................[/TEX]
Chứng minh hoàn tất
 
Last edited by a moderator:
D

dandoh221

bigbang195 said:
Bài của ilovetoan post cậu hiểu cách làm chưa:
mình có 1 bài phát triển nè.
[TEX]a,b>0[/TEX]
chứng minh:
[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+7(a+b) \ge 8\sqrt{2(a^2+b^2)}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
gif.latex

right -> done!

bigbang195 said:
khi nào anh vodichhocma online nhờ anh nói em bí quyết cách tìm số k .
đây là cách em:
ta luôn có theo am-gm
[TEX]x^3+\frac{1}{27}+\frac{1}{27} \ge 3\sqrt[3]{x^3.\frac{1}{27^2}}=\frac{x}{3}[/TEX]
[TEX]x^2+\frac{1}{9} \ge 2\sqrt[]{x^2.\frac{1}{9}} =\frac{2a}{3}[/TEX]
hay [TEX]x^3+x^2+\frac{5}{27} \ge x[/TEX]

Trở về bài toán ban đầu
[TEX]\sum \frac{a}{a^3+a^2+\frac{5}{27}+\frac{22}{27}}[/TEX]
[TEX]\le \sum \frac{a}{a+\frac{22}{27}} =3-\sum \frac{\frac{22}{27}}{a+\frac{22}{27}} \le 3-.................[/TEX]
Chứng minh hoàn tất
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
cungx chir laf chonj đieemr rowi thooi :))
 
I

ilovetoan

bigbang195 said:
Bài của ilovetoan post cậu hiểu cách làm chưa:
mình có 1 bài phát triển nè.
[TEX]a,b>0[/TEX]
chứng minh:
[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+7(a+b) \ge 8\sqrt{2(a^2+b^2)}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
theo cách của bạn giải cho mình thì ta sẽ cần chứng minh
[TEX]a'^3+b'^3+7a'b'(a'+b')\geq16a'b'[/TEX]
điều này dễ dàng chứng minh được rùi :D
 
B

bigbang195

ilovetoan said:
theo cách của bạn giải cho mình thì ta sẽ cần chứng minh
[TEX]a'^3+b'^3+7a'b'(a'+b')\geq16a'b'[/TEX]
điều này dễ dàng chứng minh được rùi :D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

mình đặt là [TEX]xy[/TEX] cho dễ nhìn nhá
OK
[TEX]x^3+y^3+7xy(x+y)=(x+y)(x^2+6xy+y^2)=(x+y)(6xy+2)[/TEX]
vậy cần CM
[TEX](x+y)(3xy+1) \ge 8xy [/TEX]
cậu đã có[TEX]x^2+y^2=2[/TEX]
nên [TEX]2 \ge 2xy [/TEX](Cô-Si thui:D)
tức [TEX]xy \le 1[/TEX]ta có[TEX] x+y \ge 2\sqrt{xy}=2\sqrt[4]{x^2+y^2}[/TEX] và [TEX]xy+xy+xy+1 \ge4\sqrt[4]{x^3y^3}[/TEX]
nên
[TEX](x+)(3xy+1) \ge8\sqrt[4]{x^5y^5} \ge 8xy[/tex]
do [TEX]xy \le 1[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
B

bigbang195

bigbang195 said:
Mạnh hơn chút
Let [TEX]a,b,c >0 [/TEX] and [TEX] a+b+c=3[/TEX]
[tex]\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2} \ge \sqrt{3(a^5+b^5+c^5)}[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Em tự học chứ làm gì có ai dạy ạ=((=((=((=((=((=((

bình phương cả 2 vế lên ta đc BDT tương đương
[TEX]\sum \frac{a^10}{b^4}+2\sum \frac{a^5b^3}{c^2} \ge 3\sum a^5[/TEX]
-----------------------------------------------------------------------------------------
 
I

ilovetoan

bigbang195 said:
mình đặt là [TEX]xy[/TEX] cho dễ nhìn nhá
OK
[TEX]x^3+y^3+7xy(x+y)=(x+y)(x^2+6xy+y^2)=(x+y)(6xy+2)[/TEX]
vậy cần CM
[TEX](x+y)(3xy+1) \ge 8xy [/TEX]
cậu đã có[TEX]x^2+y^2=2[/TEX]
nên [TEX]2 \ge 2xy [/TEX](Cô-Si thui:D)
tức [TEX]xy \le 1[/TEX]ta có[TEX] x+y \ge 2\sqrt{xy}=2\sqrt[4]{x^2+y^2}[/TEX] và [TEX]xy+xy+xy+1 \ge4\sqrt[4]{x^3y^3}[/TEX]
nên
[TEX](x+)(3xy+1) \ge8\sqrt[4]{x^5y^5} \ge 8xy[/TEX]
do [TEX]xy \le 1[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
chứng minh thía có hơi lòng vòng khó hiểu quá không
theo tui thì dựa vào cái bài đầu sẽ dễ hơn :D
 
B

bigbang195

vodichhocmai said:
[TEX](a^3+1)(a^3+1)(b^3+1)\ge (a^2b+1)^3[/TEX]

Xây dựng bài toán tương tự ta thành công.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\left{\\ \frac{a^3}{a^3+1} +\frac{a^3}{1+a^3}+\frac{b^3}{b^3+1} \ge 3\frac{a^2b}{\sqrt[3]{(a^3+1)(a^3+1)(c^3+1)} [/TEX]
[TEX] \left{ \frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1} \ge 3\frac{1}{\sqrt[3]{(a^3+1)(a^3+1)(c^3+1)}[/TEX]
cộng vế theo vế ta đc

[TEX] 3 \ge 3\frac{a^2b+1}{\sqrt[3]{(a^2+1)(a^2+1)(b^2+1)}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(a^2+1)(a^2+1)(b^2+1) \ge (a^2b+1)^3[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
B

bigbang195

[TEX]a,b,c >0[/TEX] Chứng minh rằng
[TEX]\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}} +\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(a+c)^3}} +\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}} \ge 1[/TEX]
 
Q

quyenuy0241

bigbang195 said:
[TEX]a,b,c >0[/TEX] Chứng minh rằng
[TEX]\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}} +\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(a+c)^3}} +\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}} \ge 1[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

bai này cũng bình thuờng thui ke
chia cả tử và mẫu của [tex]{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}[/tex] cho [tex]a^3[/tex]
từ đó cm được [tex]\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}[/tex] các BDT khác tương tự suy ra dpcm
 
Last edited by a moderator:
K

ketranghoa1988

Mỗi Ngày 1 Bài Toán Đây

Bài1: Cho đường tròn tâm (o,R) từ điểm P bên ngoài đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến PA và PB tới đường tròn .kẻ thêm tiếp tuyến thứ 3 căt PA và PB lần lượt tại M và N .CMR :Khi P di động thì góc MON không đổi
 
Q

quyenuy0241

Cho diện tích của một tam giác là[tex] S=\frac{3}{2}[/tex]
CMR[tex]( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}).(\frac{1}{ha}+\frac{1}{hb}+\frac{1}{hc})\ge 3[/tex]
ta có [tex]S=\frac{1}{2}.a.ha=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a.ha=3[/tex]
Áp dụng BDT AM-GM ta có
[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}(1)[/tex]
[tex]\frac{1}{ha}+\frac{1}{hb}+\frac{1}{hc} \ge \frac{3}{\sqrt[3]{ha.hb.hc}}(2)[/tex]
Nhân (1)(2) suy ra[tex] VT \ge \3[/tex]
Chẳng bít có phải đề đây không nữa sai mong em thông cảm
 
R

rua_it

bigbang195 said:
[TEX]a,b,c >0[/TEX] Chứng minh rằng
[TEX]\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}} +\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(a+c)^3}} +\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}} \ge 1[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
BDT cần chứng minh tương đương với [tex]\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}} \geq\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}(1)[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{a^3}{a^3+(b+c)^3} \geq [\frac{a^2}{a^3+(b+c)^3}]^2[/tex]

[tex] \Rightarrow a^3.[a^2+b^2+c^2]^2 \geq a^2.[a^3+(b+c)^3][/tex]

[tex]a^3.[a^4+2.a^2.(b^2+c^2)+(b^2+c^2)^2 \geq a.[a^3+(b+c)^3][/tex]

[tex]\Rightarrow 2a^2.(b^2+c^2)+(b^2+c^2)^2 \geq a.(b+c)^3[/tex]

[tex]AM-GM & Cauchy Schwarz \Rightarrow \left{\begin{2a^2.(b^2+c^2)+(b^2+c^2)^2 \geq a.(b+c)^3}\\{8.(b^2+c^2)^3 \geq (b+c)^6}[/tex]

[tex]\Rightarrow(1) [/tex] Đúng
Xây dựng bài toán tương tự, cộng theo vế, ta có ngay được dpcm.
 
Q

quyenuy0241

rua_it said:
BDT cần chứng minh tương đương với [tex]\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}} \geq\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}(1)[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{a^3}{a^3+(b+c)^3} \geq [\frac{a^2}{a^3+(b+c)^3}]^2[/tex]

[tex] \Rightarrow a^3.[a^2+b^2+c^2]^2 \geq a^2.[a^3+(b+c)^3][/tex]

[tex]a^3.[a^4+2.a^2.(b^2+c^2)+(b^2+c^2)^2 \geq a.[a^3+(b+c)^3][/tex]

[tex]\Rightarrow 2a^2.(b^2+c^2)+(b^2+c^2)^2 \geq a.(b+c)^3[/tex]

[tex]AM-GM & Cauchy Schwarz \Rightarrow \left{\begin{2a^2.(b^2+c^2)+(b^2+c^2)^2 \geq a.(b+c)^3}\\{8.(b^2+c^2)^3 \geq (b+c)^6}[/tex]

[tex]\Rightarrow(1) [/tex] Đúng
Xây dựng bài toán tương tự, cộng theo vế, ta có ngay được dpcm.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Ngoài cách này ra mình còn cách này nữa:
BDT cần chứng minh tương đương với [tex]\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}} \geq\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}(1)[/tex]
[tex]\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}} =\frac{1}{ \sqrt{1+\frac{(b+c)^3}{a^3}} }(2)[/tex]
ta có:
[tex]1+x^3=(1+x)(x^2-x+1) \le \frac{(x^2+2)^2}{4}[/tex]
suy ra [tex](2)\Leftrightarrow\frac{1}{2+\frac{(c+b)^2}{2a^2}}=\frac{2a^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq(3)\frac{2a^2}{2a^2+2b^2+2c^2}=\frac{a^2}{b^2+c^2+a^2}[/tex]
[tex](3)[/tex] đúng do [tex](b+c)^2 \leq\frac{b^2+c^2}{2}[/tex]
[tex]OK[/tex]
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom