bất đẳng thức khó mời cả nhà cùng làm

D

dandoh221

ms.sun said:
[TEX]a,b >0[/TEX]CM:
[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a} \geq \sqrt{2(a^2+b^2)}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
cũng ko phức tạp lắm, bình phương 2 vế rồi biến đổi ta được bdt tương đương
gif.latex

giả sử
gif.latex
. áp dụng BDT Chebyshev ta được
gif.latex

ĐpCM
dấu = xảy ra khi a=b
 
Last edited by a moderator:
B

bigbang195

cần CM
[TEX]a^3+b^3 \ge ab\sqrt{2(a^2+b^2)}[/TEX]

theo Chebyshev và Cauchy-SchwarZ
[TEX]a^3+b^3 \ge \frac{1}{2}(a+b)(a^2+b^2)=\frac{1}{2}(a+b)\sqrt{(a^2+b^2)}\sqrt{(a^2+b^2)} \ge \frac{1}{4}(a+b)\sqrt{(a+b)^2} \sqrt{2(a^2+b^2)}[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{4}(a+b)^2\sqrt{2(a^2+b^2)} \ge ab \sqrt{2(a^2+b^2)}[/TEX]
DONE!!!

cách 2:
chuẩn hóa [TEX]a^2+b^2=2[/TEX]
chỉ cần CM
[TEX]a^3+b^3 \ge 2ab [/TEX]dễ có
theo am-gm :[TEX]a^3+b^3 \ge a^2+b^2 \ge 2ab[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
B

bigbang195

Mạnh hơn chút
Let [TEX]a,b,c >0 [/TEX] and [TEX] a+b+c=3[/TEX]
[tex]\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2} \ge \sqrt{3(a^5+b^5+c^5)}[/tex]
 
Last edited by a moderator:
I

ilovetoan

bigbang195 said:
cần CM
[TEX]a^3+b^3 \ge ab\sqrt{2(a^2+b^2)}[/TEX]

theo Chebyshev và Cauchy-SchwarZ
[TEX]a^3+b^3 \ge \frac{1}{2}(a+b)(a^2+b^2)=\frac{1}{2}(a+b)\sqrt{(a^2+b^2)}\sqrt{(a^2+b^2)} \ge \frac{1}{4}(a+b)\sqrt{(a+b)^2} \sqrt{2(a^2+b^2)}[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{4}(a+b)^2\sqrt{2(a^2+b^2)} \ge ab \sqrt{2(a^2+b^2)}[/TEX]
DONE!!!

cách 2:
chuẩn hóa [TEX]a^2+b^2=2[/TEX]
chỉ cần CM
[TEX]a^3+b^3 \ge 2ab [/TEX]dễ có
theo am-gm :[TEX]a^3+b^3 \ge a^2+b^2 \ge 2ab[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
nếu tui mà làm đc thì đâu cần phải post lên đây nữa
bạn giải cho người hok làm được mà ghi vậy thì mình chịu thôi
làm ơn ghi rõ ra giùm
 
B

bigbang195

Bước đầu CM
mình sẽ nói kĩ thuật chuẩn hóa
đặt [TEX]\frac{a^2+b^2}{2} =t^2[/TEX]


thì[TEX] \frac{a^2+b^2}{t^2}=2 [/TEX]đặt [TEX]\frac{a}{t}=a',\frac{b}{t}=b' [/TEX]ta đc [TEX]a'^2+b'^2=2[/TEX]
BDT cần CM tương đương

[TEX]t^3(a'^3+b'^3) \ge t^2.a'b'.\sqrt{t^2.(a'^2+b'^2)}[/TEX]
hay [TEX]a'^3+b'^3 \ge a'b'\sqrt{2(a'^2+b'^2)}[/TEX]
bạn thấy hay không ! nó y hệt BDT ban đầu nhưng có ĐK rùi đó
[TEX]a'^2+b'^2=2[/TEX]
thay [TEX]a'^2+b'^2=2[/TEX] vào ta cần CM
[TEX]a'^3+b'^3 \ge 2a'b'[/TEX]
ta có [TEX]a'^3+a'^3+1 \ge 3a'^2[/TEX] làm tương tự với [tex]b'[/tex]
[TEX]a'^3+b'^3 \ge a'^2+b'^2[/TEX]
vậy ta chỉ còn cm [TEX]a'^2+b'^2 \ge 2a'b' [/TEX]cauchy sơ cấp


1 btd ko điệu kiên ra đk , ai thấy hay thánk nhá
 
Last edited by a moderator:
V

vodichhocmai

ilovetoan said:
a,b là các số dương
chứng minh
[TEX]a^2/b + b^2/a[/TEX]\geqcăn của [TEX] (2(a^2+b^2)[/TEX]
ai biết viết công thức thì sửa lại gìum :D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\righ LHS-a-b\ge RHS-a-b[/TEX]

[TEX]\righ \frac{(a-b)^2}{a}+\frac{(a-b)^2}{b}\ge \frac{(a-b)^2}{\sqrt{2(a^2+b^2)}+a+b}[/TEX]

[TEX]\righ \(a-b\)^2\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{\sqrt{2(a^2+b^2)}+a+b}\)\ge 0[/TEX]

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì :

[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}>\frac{1}{\sqrt{2(a^2+b^2)}+a+b} [/TEX]
 
B

bigbang195

Vậy còn bài này
[TEX]a,b,c [/TEX]dương CM :
[TEX](a^2b+1)(c^2a+1)(b^2c+1) \le (a^3+1)(c^3+1)(b^3+1)[/TEX] :D
 
Last edited by a moderator:
H

hg201td

ÁP dụng BDT svacxo thì phải?
Nchung phát biểu là
[TEX]\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}>=\frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}[/TEX]
Ra rùi...ÁP dụng vậy là ra thui
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom